Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória: Combinações Simples e Geometria Plana Tópico resolvido

[paulo testoniMOD]

Tem-se [tex3]13[/tex3] pontos distintos cuja maioria pertence a uma reta [tex3]r[/tex3] e os restantes se situam sobre uma paralela a [tex3]r.[/tex3] Com esses pontos como vértices, constroem-se todos os triângulos e quadriláteros convexos possíveis. A razão do número de quadriláteros para o número de triângulos é [tex3]\frac{14}{11}.[/tex3] Quantos dos pontos pertencem a [tex3]r?[/tex3]

[Thales Gheós]

[tex3]x[/tex3] e [tex3]13-x[/tex3] são os pontos

quadriláteros:

• [tex3]N=\frac{C_{x,2}\cdot C_{13-x,2}}{4}[/tex3]

triângulos:

• [tex3]N=\frac{(13-x)\cdot C_{x,2} + x\cdot C_{13-x,2} }{2}[/tex3]
  
  [tex3]\frac{Q}{T}= \frac{\dfrac{C_{x,2}\cdot C_{13-x,2}}{4}}{\dfrac{(13-x) \cdot C_{x,2} + x\cdot C_{13-x,2} }{2}}[/tex3]

você lida bem com cálculo, acho que já dá... abraço.

[paulo testoniMOD]

Hola Thales.

Agradeço a sua colocação, já havia pensado assim também. Devido aos cálculos tentei outro caminho. Qual a razão desse [tex3]x[/tex3] fora da combinação dos triângulo, e porque dividir por [tex3]2[/tex3]?

meu pensamento:

reta [tex3]r[/tex3] (n.º de pontos) [tex3]\Rightarrow[/tex3] 7, 8, 9, 10, 11, 12
reta [tex3]s[/tex3] (n.º de pontos) [tex3]\Rightarrow[/tex3] 6, 5, 4, 3, 2, 1

Lembrando que a maioria dos pontos pertence a reta [tex3]r.[/tex3] Portanto o que está em negrito não é possível formar quadriláteros já que a reta [tex3]s[/tex3] não tem pontos suficientes para isso, isto é, nesse caso ela não tem [tex3]2[/tex3] pontos. Agora vamos fazer os cáculos até encontrar a resposta.

[Thales Gheós]

Retas.png (45.25 KiB) Exibido 3670 vezes

Para formar triângulos tomamos dois pontos de uma reta e um da outra, depois fazemos também o inverso. Cada par de pontos de uma reta se associa com cada ponto da outra. Daí:

[tex3]N_T=x\cdot C_{13-x,2}+(13-x)\cdot C_{x,2}[/tex3] a divisão por [tex3]2[/tex3] decorre de que

• [tex3]C_{n,2}=\frac{n\cdot (n-1)}{2!}[/tex3]
  
  [tex3]\frac{Q}{T}=\frac{\dfrac{C_{x,2}\cdot C_{13-x,2}}{4}}{\dfrac{(13-x) \cdot C_{x,2} + x \cdot C_{13-x,2}}{2}}[/tex3]
  
  [tex3]\frac{Q}{T}=\frac{\dfrac{x(x-1)\cdot (13-x)\cdot (12-x)}{4}}{\dfrac{x(x-1)(13-x)+(13-x)\cdot (12-x)x}{2}}[/tex3]
  
  [tex3]\frac{Q}{T}=\frac{x(x-1)\cdot (13-x)\cdot (12-x)}{{2x\cdot (13-x)[(x-1)+(12-x)]}}[/tex3]
  
  [tex3]\frac{Q}{T}=\frac{(x-1)\cdot (12-x)}{{22}}[/tex3]
  
  [tex3]\frac{14}{11}=\frac{-x^2+13x-12}{{22}}[/tex3]
  
  [tex3]28=-x^2+13x-12[/tex3]
  
  [tex3]0=-x^2+13x-40[/tex3]

aí encontramos

• [tex3]x=5 \Rightarrow 13-x=8[/tex3] ou

• [tex3]x=8 \Rightarrow 13-x=5[/tex3]

[paulo testoniMOD]

Hola.

Muito boa a sua explanação. A pergunta também era:Qual a razão desse x fora da combinação dos triângulos?
Com eu havia dito faria pelo meu método.

Tentaria com os pontos 7 e 6, perceberia que a quantidade de quadriláteros 315 não é múltiplo de 14. Tentaria com 8 e 5, agora a quantidade de quadriláteros 280 é múltiplo de 14. logo, teríamos 8 pontos na reta [tex3]r[/tex3] e 5 pontos na reta [tex3]s.[/tex3] Logo essa seria a resposta correta.

[Thales Gheós]

com [tex3]13[/tex3] pontos e duas retas existem os pares que somam [tex3]13:[/tex3]

[tex3](1,12)-(2,11)-(3,10)-(4,9)-(5,8)-(6,7)[/tex3]

dá prá fazer por tentativa e êrro. E se fossem [tex3]57[/tex3] pontos?

Quanto ao [tex3]x,[/tex3] veja:

Retas.png (24.09 KiB) Exibido 3657 vezes

cada par de pontos de uma reta se associa a todos os pontos da outra para formar triângulos.

[paulo testoniMOD]

Hola Thales.

Nesse caso precisaria saber a razão entre as figuras. Mas, de qualquer maneira é ineguável o seu domínio e elegância na resolução dessa questão. Parabenizo o amigo, o fórum só fica enriquecido com a sua presença.

[Karl Weierstrass]

Seja [tex3]n[/tex3] o número de pontos em [tex3]r,[/tex3] com [tex3]n\geq 7.[/tex3] Logo, o número de pontos sobre [tex3]s,[/tex3] paralela a [tex3]r,[/tex3] é [tex3]13-n.[/tex3]

Podemos formar triângulos tomando dois pontos em [tex3]r[/tex3] e um ponto em [tex3]s[/tex3] ou um ponto em [tex3]r[/tex3] e dois pontos em [tex3]s[/tex3]. Desse modo, há

• [tex3]{n\choose2} \cdot {13-n\choose1}+ {n\choose1} \cdot {13-n\choose2}=\frac{11n(13-n)}{2}[/tex3] triângulos.

Podemos formar quadriláteros convexos tomando dois pontos em [tex3]r[/tex3] e dois pontos em [tex3]s[/tex3]. Logo, há

• [tex3]{n\choose2} \cdot {13-n\choose2}=\frac{n(n-1)(13-n)(12-n)}{4}[/tex3] quadriláteros convexos.

Sabemos que

• [tex3]\frac{\dfrac{n(n-1)(13-n)(12-n)}{4} }{\dfrac{11n(13-n)}{2}}=\frac{14}{11}.[/tex3]

Simplificando, obtemos

• [tex3]n^2-13n+40=0\Longrightarrow \begin{cases}n=8\\n=5\end{cases}[/tex3]

Resposta: [tex3]8[/tex3] pontos.

[paulo testoniMOD]

Hola Thales Gheós.

Cara eu nem me lembrava mais e olha que usei a função busca, mas sem sucesso. Achava que tinha ficado no fórum anterior. Essa tiraram do BAÚ DO TUTORBRASIL.

a pergunta do [tex3]x[/tex3] é aquele que está multiplicando a [tex3]C_{13,x - 2}[/tex3]

[tex3]N=\frac{(13-x)\cdot C_{x,2} + x\cdot C_{13-x,2} }{2}[/tex3]