Ensino Médio ⇒ Equação Polinomial Tópico resolvido

[bruninha]

A equação [tex3]x^3\, -\, 8px^2\, +\, x\, - q\, =\, 0[/tex3] admite a raiz 1 com multiplicidade 2. Determine [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3].

[Thales Gheós]

a terceira raiz é [tex3]k:[/tex3]

[tex3]x^3\, -\, 8px^2\, +\, x\, - q\, =\, (x-1)(x-1)(x-k)[/tex3]

desenvolva o segundo membro e compare os dois

[cajuADMIN]

Olá bruninha,

Continuando a resolução do Thales,

Se a raiz 1 é de multiplicidade 2, significa que a fatoração do polinômio admite dois fatores iguais a [tex3](x-1)[/tex3]. Mas como é de terceiro grau, possui também uma terceira raiz.

Se não sabemos que raiz é essa, chamamos ela de k. Ou seja, a fatoração do polinômio admite um fator igual a [tex3](x-k)[/tex3] também. Portanto, a fatoração deste polinômio é:

[tex3]x^3 - 8px^2 + x - q = (x-1)(x-1)(x-k)[/tex3]

Desenvolvendo o lado direito da equação, ficamos com:

[tex3]x^3 - 8px^2 + x - q = x^3-(2+k)x^2+(1+2k)x-k[/tex3]

Agora caímos em uma igualdade de polinômios. Cada parcela do lado esquerdo deve ter uma correspondente igual do lado direito.

Igualando as parcelas de [tex3]x^2[/tex3] temos:

(1) [tex3]8p=2+k[/tex3]

Igualando as parcelas de [tex3]x[/tex3]

(2) [tex3]1=1+2k[/tex3]

Igualando as parcelas independentes:

(3) [tex3]q=k[/tex3]

De (2) vemos que [tex3]k=0[/tex3]. Com este resultado e (3) vemos que [tex3]q=0[/tex3] também.

Agora, em (1), substituindo [tex3]k=0[/tex3] temos:

[tex3]p=\frac{1}{4}[/tex3]