Olimpíadas ⇒ (EUA) Fatorial

[cicero444]

O fatorial de 35, isto é, o produto dos números 1 × 2 × 3 × 4 × ...... ×33 × 34 × 35, é um número com 42 algarismos:
35!=10333147966386144929K666511337523200000000.
No lugar do algarismo central está uma letra K, que algarismo teve seu lugar ocupado pelo K?

[undefinied3]

Creio que há um digito a mais no valor que você citou como 35! pelo o que eu calculei no Wolfram Alpha. Você escreveu:
10333147966386144929K666511337523200000000
Mas o correto seria
10333147966386144929K66651337523200000000

De qualquer forma, pra resolver isso, eu pensei em usar o critério de divsibilidade por 11. 35! precisa ser divisível por 11, e para que isso aconteça, a soma dos digitos ímpares menos a soma dos digitos pares deve ser um número divisível por 11. Calculemos essa diferença:

S=-1+0-3+3-3+1-4+7-9+6-6+3-8+6-1+4-4+9-2+9-K+6-6+6-5+1-3+3-7+5-2+3-2 = 72-K-66=6-K

Como S=11p para algum p, temos que 6-K=11p. Porém, também temos a restrição que [tex3]0 \leq K \leq 9[/tex3], ou seja, temos que 6-K=0 e portanto K=6.

EDIT: Creio que também dê pra resolver utilizando o critério de divisibilidade por 9 e por 7, mas este último é muito mais trabalhoso, então uma outra opção seria por 9. Por 3 acredito que não seja possível pois a equação final forneceria mais de um resultado possível para k, o que não acontece com 9 ou 11 por serem números iguais ou maiores que a quantidade de algarismos da base 10.