Ensino Superior ⇒ (ENAD) Probabilidade: Distribuindo Guarda-Chuvas Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Ao entrar em casa de amigos, cinco pessoas deixam seus guarda-chuvas com a dona da casa. Quando as pessoas resolvem pedi-los de volta para sair, a dona da casa constata que todos eles são aparentemente iguais, e resolve distribuí-los ao acaso. Qual a probabilidade de que exatamente três pessoas recebam cada uma o seu próprio guarda-chuva?

(A) [tex3]\frac{1}{12}[/tex3]
(B) [tex3]\frac{1}{16}[/tex3]
(C) [tex3]\frac{1}{4}[/tex3]
(D) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]
(E) [tex3]\frac{5}{12}[/tex3]

Resposta

---

(A)

[Karl Weierstrass]

Três guarda-chuvas podem ser entregues para os respectivos donos de [tex3]{5\choose3}\,=\,10[/tex3] modos. Os outros dois deverão ser entregues caoticamente. Isto pode ser feito de [tex3]D_2\,=\,2!\,\cdot\,\left[\frac{1}{0!}\,-\,\frac{1}{1!}\,+\,\frac{1}{2!}\right]\,=\,1[/tex3] modo. Logo, temos [tex3]10\,\cdot\,1\,=\,10[/tex3] casos favoráveis. Como existem [tex3]P_5\,=\,5!\,=\,120[/tex3] maneiras de distribuirmos os cinco guarda-chuvas sem qualquer restrição, segue que a probabilidade pedida é dada por [tex3]\frac{10}{120}\,=\,\frac{1}{12}.[/tex3]

[tex3]\boxed{\text{A}}[/tex3]

Permutações Caóticas

Uma permutação dos elementos da [tex3]n[/tex3]-úpla [tex3](1,\,2,\,3,\,\cdots,\,n)[/tex3] é dita caótica, quando nenhum dos elementos ocupa a sua posição primitiva.

O número de permutações caóticas de [tex3](1,\,2,\,3,\,\cdots,\,n)[/tex3] é dado por:

[tex3]\hspace{70pt} D_n\,=\,n!\,\cdot\,\left[\frac{1}{0!}\,-\,\frac{1}{1!}\,+\,\frac{1}{2!}\,-\,\frac{1}{3!}\,+\,\ldots\,+\,\frac{(-1)^n}{n!} \right][/tex3]

[rgsantos]

Karl beleza cara?

teria como tu explicar-me porque no [tex3]D2![/tex3] deu = 1?
não consegui visualizar!

abraços
desculpe pela igonorância

[Karl Weierstrass]

Olá Santos!

Todos somos ignorantes em inúmeros assuntos, mas tenho certeza que você não é ignorante em Matemática.

[tex3]D_2\,=\,2!\,\cdot\,\left[\Large\frac{1}{0!}\large\,-\,\Large\frac{1}{1!}\large\,+\,\Large\frac{1}{2!}\large\right]\,=\,2\,\cdot \,\left[\Large\frac{1}{1}\large\,-\,\Large\frac{1}{1}\large\,+\,\Large\frac{1}{2}\large\right]\,=\,2\,\cdot\,\Large\frac{1}{2}\large\,=\,1.[/tex3]

Note que [tex3]0!\,=\,1,\, 1!\,=\,1 \,\,\text{e}\,\, 2!\,=\,2\,\cdot\,1.[/tex3]

Abraço.

[rgsantos]

não agora eu compreendi.. é porque não tinha reparado no final da expressão.. [tex3](-1)^n[/tex3]


muito obrigado!

forte abraço