Pré-Vestibular ⇒ (UFMG) Elipse e Circunferência Tópico resolvido

[Gauss]

Uma elipse é o conjunto de pontos no plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos [tex3]F_{1}[/tex3] e [tex3]F_{2}[/tex3] é uma constante igual a k.

A) Determine a equação da elipse em que [tex3]F_{1}=(-\sqrt{15},0)[/tex3], [tex3]F_{2}=(\sqrt{15},0)[/tex3] e k = 8.

B) Seja C uma circunferência de centro (1,0) e raio r. Determine os valores de r para os quais a interseção de C com a elipse do item A seja não vazia.

Obs: A letra A eu sei resolver. Se achar melhor, poste apenas a letra B.

Resposta

---

[tex3]A)\ \frac{x^2}{16}-y^2=1\\\\B)\ \sqrt{\frac{15}{16}}\leq x\leq 5[/tex3]

[fabit]

Ok, farei a B.

Uma figura revela que, estando o centro (1,0) no interior da região da elipse, fica fácil estabelecer que a resposta será da forma [tex3]r_0\leq r\leq r_1[/tex3].

De fato, com raios muito pequenos a circunferência fica muito colada com seu centro e não chega a tocar a elipse. E com raios muito grandes ela passa por fora da elipse, ou seja, a elipse é que fica interior à região delimitada pela circunferência.

A mesma figura permite avaliar que [tex3]r_1=5[/tex3], sendo o ponto (-4,0) o ponto de tangência entre as duas curvas. Além disso, o caso r=3 causa uma tangência interessante no ponto (4,0), só que as curvas se cruzam de forma secante em dois outros pontos, ficando com 3 interseções.

Passando a limpo, [tex3]r_0\leq r\leq5[/tex3].

Agora, para descobrir o raio mínimo, vejo duas maneiras:
a) formando um sistema com as equações das duas curvas, com parâmetro r, e igualando o discriminante com zero; e
b) usando retas normais e derivadas (pode ser implícita ou até mesmo multiplicadores de Lagrange, quem sabe?).

Não sei se rola também um híbrido combinanando retas normais e discriminante. Vou usar Lagrange:

Sistema [tex3]\begin{cases}\vec{\bigtriangledown f}=\lambda\times\vec{\bigtriangledown g}\\g=0\end{cases}[/tex3]

onde [tex3]g(x,y)=x^2+16y^2-16[/tex3] e [tex3]f(x,y)=x^2-2x+y^2-1-r^2[/tex3]

[tex3]\begin{cases}(2x-2,2y)=\lambda\times(2x,32y)\\x^2+16y^2-16=0\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}2x-2=2\lambda x\Rightarrow x(1-\lambda)=1\\2y=32\lambda y\Rightarrow y(16\lambda-1)=0\\x^2+16y^2=16\end{cases}[/tex3]

A segunda fornece y=0 ou [tex3]\lambda=\frac{1}{16}[/tex3]

Seguindo y=0 temos, na terceira, [tex3]x=\pm4[/tex3]. Então os pontos (-4,0) e (4,0) servem para tangência. Já sabíamos isso (vide acima).

Já com [tex3]\lambda=\frac{1}{16}[/tex3] teremos [tex3]x=\frac{16}{15}[/tex3] e aí [tex3]y=\frac{\pm\sqrt{209}}{15}[/tex3].

Assim, [tex3]r_0=\sqrt{\(\frac{16}{15}-1\)^2+\frac{209}{15^2}}=\sqrt{\frac{1+209}{15^2}}=\frac{\sqrt{210}}{15}[/tex3]

Resposta: [tex3]\boxed{\frac{\sqrt{210}}{15}\leq r\leq5}[/tex3].

Resumindo, de zero a infinito, o número de interseções é nulo desde zero até [tex3]\frac{\sqrt{210}}{15}[/tex3], exclusive. Pula pra dois quando atinge esse raio (primeira tangência). Aí pula pra quatro (secantes) e quando chega em r=3 ocorre aquela tangência no ponto (4,0) e são 3 interseções. Passando de r=3 voltamos a ter 2 interseções, mas dessa vez são secantes. Continuando o crescimento do raio, ocorre a última tangência no ponto (-4,0) quando r=5, sendo ali a única interseção. E após isso, ou seja, com r>5, nunca mais as curvas se tocam.

Tem Geogebra? Roda isso lá que deve ficar maneiro.

[Gauss]

Olá, Fabit. Muito obrigado pela atenção!

[tex3]\rightarrow[/tex3] Infelizmente não consegui acompanhar muito bem o seu raciocínio. Por acaso utilizou algum conceito de ensino superior?

[tex3]\rightarrow[/tex3] Quanto ao Geogebra, infelizmente não sei utilizá-lo .

Obs: O seu resultado não bateu com o gabarito.

[LucasPinafiMOD]

O raciocínio dele está certo. Mas é complicar demais para um questão simples. . De fato, a resposta está certinha. Use o raciocínio que ele fez para encontrar o ponto máximo (veja a figura!).
Temos o sistema:
[tex3]\begin{cases} \dfrac{x^2}{16}+y^2=1 \\ (x-1)^2+y^2=1 \end{cases}[/tex3]
Subtraindo uma da outra ficamos com:
[tex3]x^2-16(x-1)^2 = 161-16r^2[/tex3]
Que após algumas simplificações: [tex3]15x^2-32x+32-16r^2=0[/tex3]
Agora, basta tomar [tex3]\Delta \geq 0 \Rightarrow (-32)^2 - 4(15)(32-16r^2) \geq 0 \Rightarrow 15r^2-14 \geq 0 \Rightarrow r \geq \frac{\sqrt{210}}{15}[/tex3]

Obs 1: Ele usou Cálculo, na minha opinião uma das melhores ferramentas matemáticas que o homem já criou.
Obs 2: Aprenda o Geogebra cara, vale muito a pena!! Que curso você quer fazer ? E em qual faculdade ?

[Gauss]

Olá, Lucas.

Então, futuramente, eu pretendo fazer Engenharia Civil. Irei prestar a UNICAMP, FUVEST, UNESP e ENEM. Porém, meu foco maior é na UNICAMP e na FUVEST. Vou dar uma procurada na internet sobre aulas que ensinem a mexer no Geogebra. Ele parece ser realmente útil.

Uma dúvida. Então meu gabarito está errado, certo?

[LucasPinafiMOD]

hehehe você já está certo sobre o curso? Dê uma olhada em Engenharia Química qualquer coisa, posso te garantir que é muito bom =D. Sim, está errado.

[fabit]

Usei sim. Quando listei as maneiras "a" e "b", segui pela b e o Lucas pela a.

Assista aos videos do site w w w . ogeogebra . com

(repare o "o" à frente do geogebra!)

Lá explica desde como baixar e instalar até a configuração de macros (novas ferramentas).

E ouça seu coração, não ficando excessivamente preocupado em acertar sua carreira na primeira tentativa.

Veja o que falou o professor Morgado no video do PAPMEM (acho que é julho de 2005, talvez o último PAPMEM do Morgado, que faleceu em 2006).

[Gauss]

Então, Lucas, estou certo sim sobre Engenharia Civil, mas irei dar uma olhada em Engenharia Química. Sempre é bom ter uma segunda opção . E muito obrigado aos dois pela resolução!

[Gauss]

Muito obrigado, fabit, pelas dicas e por fornecer o link do site!