Ensino Superior ⇒ Matrizes - Algebra Linear

[sorioalex]

[UFRGS 2015] Uma pessoa tem no bolso moedas de R$1,00, de R$0,50, de R$0,25 e R$0,10. Se somadas, as moedas de R$1,00 com as de R$0,50 e com as de R$0,25 têm-se R$6,75. A soma das moedas de R$0,50 com as moedas de R$0,25 e com as de R$0,10 resulta em R$4,45. A soma das moedas de R$0,25 com as de R$0,10 resulta em R$2,95

Das alternativas, assinale a que indica o número de moedas que a pessoa tem no bolso.
a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e)26

Gente, eu gostaria de saber como faz a resolução dessa questão.

[danjr5]

Olá sorioalex, seja bem-vindo!

Considere as quantidades de moedas...

quantidade de moedas de R$ 1,00: a
quantidade de moedas de R$ 0,50: b
quantidade de moedas de R$ 0,25: c
quantidade de moedas de R$ 0,10: d

A saber: supomos que eu tenha 4 moedas de R$ 0,50 no bolso, repare que para calcular essa quantia devo multiplicar a quantidade de moedas (4) pelo valor de cada uma (R$ 0,50), isto é, tenho R$ 2,00. As vezes, por mais que pareça simples no dia a dia, não é tão fácil passar para a forma algébrica.

Adiante,

[tex3]\\ \begin{cases} a + \frac{50b}{100} + \frac{25c}{100} = \frac{675}{100} \;\; \times (4\\\\ \frac{50b}{100} + \frac{25c}{100} + \frac{10d}{100} = \frac{445}{100} \;\; \times (4 \\\\ \frac{25c}{100} + \frac{10d}{100} = \frac{295}{100} \;\; \times (4 \end{cases} \\\\\\ \begin{cases} 4a + 2b + c = 27 \\ 10b + 5c + 2d = 89 \\ 5c + 2d = 59 \end{cases}[/tex3]

Note que podemos substituir a equação III na II, segue que,

[tex3]\\ 10b + \underbrace{5c + 2d}_{59} = 89 \\ 10b + 59 = 89 \\ \boxed{b = 3}[/tex3]

Da equação I e II obtemos um novo sistema (três variáveis): [tex3]\begin{cases} 4a + c = 21 \\ 5c + 2d = 59 \end{cases}[/tex3]

Isolemos a variável "c" e igualemos...

[tex3]\\ 21 - 4a = \frac{59 - 2d}{5} \\\\ 105 - 20a = 59 - 2d \\\\ 20a - 2d = 46 \;\; \div(2 \\\\ 10a - d = 23[/tex3]

Da equação [tex3]10a - d = 23[/tex3], podemos concluir que [tex3]\boxed{d = 7}[/tex3] ou [tex3]\boxed{d = 17}[/tex3]. Temos que subtrair um número de outro que termina com zero e dê como resultado 3; ora, o número a ser subtraído só pode terminar com 7, por isso...

Quando [tex3]\boxed{d = 7}[/tex3], temos que: [tex3]\boxed{c = 9}[/tex3] e [tex3]\boxed{a = 3}[/tex3]

Somando,

[tex3]\\ a + b + c + d = \\ 3 + 3 + 9 + 7 = \\ \boxed{\boxed{\boxed{22}}}[/tex3]


Mas, quando fazemos [tex3]d = 17[/tex3], temos que: [tex3]c = 5[/tex3] e [tex3]a = 4[/tex3]

Somando,

[tex3]\\ a + b + c + d = \\ 4 + 3 + 5 + 17 = \\ 29[/tex3]

Como podes notar, não figura nas opções! Portanto, a opção a é a correta.

Espero ter ajudado!