Ensino Médio ⇒ Algebra linear vetores no R3 Tópico resolvido

[LeoLemos123]

Sejam os vetores u = (1, 0,1), v = (2, 1 0) e w = (x, y, z). Determine as componentes do vetor w de forma que os vetores u, v, w gerem o espaço R3..

[danjr5]

Se os vetores [tex3]\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}[/tex3] geram todo o [tex3]\mathbb{R}^3[/tex3], então podemos colocá-los como combinação linear de qualquer vetor do [tex3]\mathbb{R}^3[/tex3]. Sejam [tex3](x_1, y_1, z_1) \in \mathbb{R}^3[/tex3], temos que:

[tex3]\\ (x_1, y_1, z_1) = \alpha(1, 0, 1) + \beta(2, 1, 0) + \gamma(x, y, z) \\\\ \begin{cases} \alpha + 2\beta + x\gamma = x_1 \\ \beta + y\gamma = y_1 \\ \alpha + z\gamma = z_1\end{cases} \\\\\\ \begin{bmatrix} 1 & 2 & x & | & x_1 \\ 0 & 1 & y & | & y_1 \\ 1 & 0 & z & | & z_1\end{bmatrix}[/tex3]

Escalonando,

[tex3]\\ \begin{bmatrix} 1 & 2 & x & | & x_1 \\ 0 & 1 & y & | & y_1 \\ 1 & 0 & z & | & z_1\end{bmatrix} \\\\ L_3 \rightarrow L_1 - L_3 \\\\\\ \begin{bmatrix} 1 & 2 & x & | & x_1 \\ 0 & 1 & y & | & y_1 \\ 0 & 2 & (x - z) & | & (x_1 - z_1) \end{bmatrix} \\\\ L_3 \rightarrow L_3 - 2L_2 \\\\\\ \begin{bmatrix} 1 & 2 & x & | & x_1 \\ 0 & 1 & y & | & y_1 \\ 0 & 0 & (x - z - 2y) & | & (x_1 - z_1 - 2y_1) \end{bmatrix}[/tex3]

Daí, tiramos que o sistema será LD se [tex3]x - 2y - z = 0[/tex3]. Por conseguinte, os componentes do vetor [tex3]\vec{w}[/tex3] não poderão satisfazer a equação encontrada.

Sabemos que os vetores [tex3]\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}[/tex3] irão gerar o [tex3]\mathbb{R}^3[/tex3] se forem LI e tiverem dimensão 3.

Se considerar [tex3]\boxed{\vec{w} = (1, 0, 0)}[/tex3], as condições serão satisfeitas. Verifique!