Ensino Superior ⇒ Serie de Taylor

[Rafaelje]

Usando a serie de Taylor da função f(x)= [tex3]e^{x}[/tex3] obtenha a serie de Taylor das funções
[tex3]e^{-x^{2}}[/tex3],[tex3]\int\limits_{}^{} e^{-x^{2}}dx[/tex3] e escreva [tex3]\int\limits_{0}^{1} e^{ -x^{2}}[/tex3] dx como uma serie numerica

[LucasPinafiMOD]

Pode ser provado que:
[tex3]e^x = \lim_{ n \to + \infty} \left(1+ x+ \frac{1}{2}x^2+ \frac{1}{3!}x^3+ \dots + \frac{1}{n!}x^n \right)[/tex3]
(a) Basta substituir x por -x² na expressão acima:
[tex3]e^{-x^2} = \lim_{n \to + \infty} \left( 1 - x^2 + \frac{1}{2} (-x^2)^2+ \frac{1}{3!} (-x^2)^3+ \dots + \frac{1}{n!}(-x^2)^n \right)[/tex3]
[tex3]e^{-x^2} = \lim_{n \to + \infty} \left( 1- x^2 + \frac{1}{2}x^4- \frac{1}{3!}x^6+ \dots + (-1)^n \frac{1}{n!} x^{2n} \right)[/tex3]
(b) Temos que:
[tex3]\int e^{-x^2} \ dx = \lim_{n \to + \infty} \left( \int \left[ 1 - x^2 + \frac{1}{2} x^4 + \dots +(-1)^n \frac{1}{n!} x^{2n} \right] \ dx \right)[/tex3]

(c)

[tex3]\int_0^1 e^{-x^2} \ dx =\lim_{n \to + \infty} \left( \int_0^1 \left[ 1 - x^2 + \frac{1}{2} x^4 + \dots +(-1)^n \frac{1}{n!} x^{2n} \right] \ dx \right) = \\ \lim_{n \to +\infty} \left[x- \frac{1}{3}x^3+ \frac{1}{10}x^5+\dots + (-1)^n \frac{1}{(2n+1)n!}x^{2n+1} \right]^1_0= \\ 1- \frac{1}{3}+ \frac{1}{10}+ \dots + (-1)^n\frac{1}{(2n+1)n!}= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n }{(2n+1)n!}[/tex3]