Pré-Vestibular ⇒ (UNIFACEF Medicina - 2015) Geometria Tópico resolvido

[magabi2552]

O teorema de Ptolomeu-Hiparco diz que para quadriláteros inscritíveis vale a propriedade: “o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos”.

A figura mostra o pentágono regular ABCDE de lado 2 que, por ser regular, possui todas as diagonais iguais.

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Tendo em vista que o trapézio ABDE é inscritível, o valor da diagonal do pentágono é

(A) [tex3]\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)[/tex3]
(B) [tex3]\sqrt{5}-1[/tex3]
(C) [tex3]\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)[/tex3]
(D) 1 - [tex3]\sqrt{5}[/tex3]
(E) [tex3]\sqrt{5}+1[/tex3]

Resposta

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Resposta: Alternativa (E)

[Ittalo25MOD]

Por Ptlomeu:

[tex3]AE.BD + BA.DE = BE.DA[/tex3]

[tex3]2.BD + 2.2 = BE.DA[/tex3]

Como o enunciado já disse, todas as diagonais são iguais, seja x o seu valor:

[tex3]2x + 4 =x.x[/tex3]

[tex3]x^2 - 2x - 4 = 0[/tex3]

[tex3]x = 1 + \sqrt{5}[/tex3]