IME / ITA ⇒ (EsPCEx - 2015) Polinômios Tópico resolvido

[lflusao]

Considere os polinômios [tex3]p(x)=x^{80}+3x^{79}-x^2-x-1[/tex3] e [tex3]b(x)=x^2+2x-3.[/tex3] Sendo [tex3]r(x)[/tex3] o resto da divisão de [tex3]p(x)[/tex3] por [tex3]b(x)[/tex3], o valor de [tex3]r\(\frac{1}{2}\)[/tex3] é igual a

a) [tex3]0[/tex3]
b) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
c) [tex3]1[/tex3]
d) [tex3]2[/tex3]
e) [tex3]\frac{5}{2}[/tex3]

[danjr5]

O maior grau possível do resto da divisão de [tex3]p(x)[/tex3] por [tex3]b(x)[/tex3] é 1 (grau do divisor - 1). Consideremos então [tex3]r(x) = ax + b[/tex3];

Fatorando [tex3]b(x)[/tex3] teremos [tex3]b(x) = (x + 3)(x - 1)[/tex3]. Se fizermos cada fator de [tex3]b(x)[/tex3] igual a zero e substituirmos no polinômio [tex3]p(x)[/tex3] obteremos seus respectivos restos.

Fator (x + 3): x = - 3.

[tex3]\\ p(x) = x^{80} + 3x^{79} - x^2 - x - 1 \\ p(- 3) = (- 3)^{80} + 3 \cdot (- 3)^{79} - (- 3)^2 - (- 3) - 1 \\ p(- 3) = 3^{80} + 3 \cdot [- 1 \cdot (3)^{79}] - (9) + 3 - 1 \\ p(- 3) = 3^{80} - 3^{80} - 9 + 3 - 1 \\ p(- 3) = - 7[/tex3]

Fator (x - 1): x = 1.

[tex3]\\ p(x) = x^{80} + 3x^{79} - x^2 - x - 1 \\ p(1) = 1 + 3 - 1 - 1 - 1 \\ p(1) = 1[/tex3]

De [tex3]p(- 3) = - 7[/tex3] chegamos a:

[tex3]\\ r(x) = ax + b \\ r(- 3) = - 3a + b \\ - 3a + b = - 7[/tex3]

De [tex3]p(1) = 1[/tex3],

[tex3]\\ r(x) = ax + b \\ r(1) = a + b \\ a + b = 1[/tex3]

Resolvendo o sistema [tex3]\begin{cases}- 3a + b = - 7 \\ a + b = 1 \end{cases}[/tex3] tiramos que [tex3]\boxed{a = 2}[/tex3] e [tex3]\boxed{b = - 1}[/tex3]. Portanto, [tex3]\boxed{r(x) = 2x - 1}[/tex3].

Por fim,

[tex3]\\ r(x) = 2x - 1 \\\\ r\(\frac{1}{2}\) = 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 \\\\ \boxed{\boxed{r\(\frac{1}{2}\) = 0}}[/tex3]