IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1985) Conjuntos Tópico resolvido

[Flavio2008]

Considere os conjuntos [tex3]M[/tex3] dos pares ordenados [tex3](x,\, y)[/tex3] que satisfazem à equação [tex3](a_1x\,+\,b_1y\,+\,c_1)\,\cdot\,(a_2x\,+\,b_2y\,+\,c_2)\, =\, 0[/tex3] e [tex3]N[/tex3] dos pares ordenados [tex3](x,\, y)[/tex3] que satisfazem o sistema [tex3]\begin{cases}a_1x\,+\,b_1y\,+\,c_1\, =\, 0\\a_2x\,+\,b_2y\,+\,c_2\, =\, 0\end{cases}[/tex3]
Sendo [tex3]a_1\,\cdot\,b_1\,\cdot\,c_1\,\cdot\,a_2\,\cdot\,b_2\,\cdot\,c_2 \,\neq\, 0,[/tex3] pode-se afirmar que:

a) [tex3]M\, = \,N[/tex3]
b) [tex3]M\, \cup\, N \,=\, M[/tex3]
c) [tex3]M \,\cap \,N \,=\, \emptyset[/tex3]
d) [tex3]M \,\cup \,N\, =\, N[/tex3]

[Karl Weierstrass]

Interpretando geometricamente o sistema, temos três casos possíveis:

i) O sistema é possível e determinado, isto é, as retas são concorrentes e [tex3]N[/tex3] é um conjunto unitário.

ii) O sistema é possível e indeterminado, isto é, as retas são coincidentes e [tex3]N[/tex3] possui infinitos elementos (os pontos da reta).

ii) O sistema é impossível, isto é, as retas são paralelas não coincidentes e [tex3]N[/tex3] é vazio.

Sabendo que

• [tex3](a_1x\,+\,b_1y\,+\,c_1)\,\cdot\,(a_2x\,+\,b_2y\,+\,c_2)\, =\, 0 \,\Longrightarrow\,\begin{cases}a_1x\,+\,b_1y\,+\,c_1\,=\,0\\\end{cases}\text{ ou}\\a_2x\,+\,b_2y\,+\,c_2\,=\,0[/tex3]

isto é, como todo ponto pertencente a cada uma das retas é solução da equação, podemos concluir que [tex3]M\, \cup\, N \,=\, M[/tex3]

[tex3]\boxed{\text{B}}[/tex3]

[triplebig]

Virgem, eu lembro dessa questão, é antigona! Eu ja tinha a deixado para lá, heheh