Pré-Vestibular ⇒ (PUCCAMP) Geometria Analítica Tópico resolvido

[Mariapazza]

O ponto B (–4; 1) está situado a 5/3 da distância que vai de A (2; –2) a C (x; y). Determinar o ponto C.

[paulo testoniMOD]

Hola Mariapazza.

Os três pontos estão em linha reta, ou seja, estão sobre a mesma reta. Vamos encontrar essa reta:
[tex3]B(-4,\ 1)\ e\ A(2,\ -2)[/tex3]
[tex3]m=\frac{(1-(-2))}{(-4-2)}\\
m=\frac{(1+2)}{-6}\\
m=\frac{3}{-6}\\
m=-\frac{1}{2},\ logo:[/tex3]

[tex3]y-y_0=m*(x-x_0)\\
y-1=-\frac{1}{2}*(x-(-4))\\
2*(y-1)=-1*(x+4)\\
2y-2=-x-4\\
2y=-x-4+2\\
2y=-x-2\\
y=-\frac{x}{2}-\frac{2}{2}[/tex3]
Reta que contém os três pontos: A, B e C.

Do enunciado sabemos que: B está a [tex3]\frac{3}{5}[/tex3] de AC.

Cálculo da distância de A até B:

[tex3]d(AB) = \sqrt{(2-(-4))^2+(-2-1)^2}\\
d(AB) = \sqrt{(6)^2+(-3)^2}\\
d(AB)=\sqrt{45}[/tex3]
[tex3]d(AB)= \frac{3}{5}*d(AC)\\
d(AB)=\frac{3}{5}*\sqrt{(2-x)^2+(-2-y)^2}[/tex3]
[tex3]5*(AB)=3*\sqrt{2-x)^2+(-2-y)^2}\\
5*\sqrt45=3*\sqrt{2-x)^2+(-2-y)^2}\\[/tex3]
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
[tex3](5*\sqrt45)^2=(3*\sqrt{(2-x)^2+(-2-y)^2})^2\\
25*45=9*][(2-x)^2+(-2-y)^2[/tex3]
Dividindo ambos os lados por 9, fica:
[tex3]25*5=(2-x)^2+(-2-y)^2[/tex3]
note que [tex3]y=-\frac{x}{2}-\frac{2}{2}[/tex3]
Substituindo, temos:
[tex3]125=(2-x)^2+(-2-(-\frac{x}{2}-\frac{2}{2}))^2\\
125=(2-x)^2+(-2+\frac{x}{2}+\frac{2}{2}))^2\\
125=(2-x)^2+(\frac{x-2}{2})^2\\
125=4-4x+x^2+(\frac{x^2-4x+4}{4})\\
125*4=16-16x+4x^2+x^2-4x+4
500=5x^2-20x+20\\
5x^2-20x-480=0[/tex3]

Usando Baskara, encontramos:
[tex3]x'=12\ e\ x''=-8[/tex3]

Voltando na equação inicial da reta: [tex3]y=-\frac{x}{2}-\frac{2}{2}[/tex3], substituindo os pontos:
Para [tex3]x'=12,\ temos[/tex3]
[tex3]y=-\frac{12}{2}-\frac{2}{2}\\
y=-7, \ sendo\ C_1=(12,-7)[/tex3]

Para [tex3]x''=-8,\ temos[/tex3]
[tex3]y=-(\frac{-8}{2})-\frac{2}{2}\\
y=3,\ sendo\ C_2=(3,-8)[/tex3]

A solução no prolongamento no sentido de AB é [tex3]C_2 = (-8, 3)[/tex3].

Mariapazza, da próxima vez leia a sua mensagem antes de colocá-la. Assim vc evita de quem deseja te ajudar perca tempo tentando adivinhar o que está errado.