Ensino Superior ⇒ Integral por substituição trigonométrica Tópico resolvido

[iceman]

[tex3]\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+4}}[/tex3]

Alguém poderia me ajudar nessa integral ? agradeço muito.

[PedroCunha]

Olá, iceman.

Acho esse o tipo mais complicado de integral. Bom, observe a seguinte figura:

triangulo.png (2.64 KiB) Exibido 898 vezes

Dela, temos:

[tex3]\tan \theta = \frac{x}{2} \therefore x = 2\tan \theta \text{ e } dx = 2\sec^2\theta d\theta[/tex3]

Note então que:

[tex3]\sqrt{x^2+4} = \sqrt{4\tan^2\theta+4} = \sqrt{4 \cdot \underbrace{(\tan^2 \theta + 1)}_{=\sec^2\theta}} = 2|\sec\theta| = 2\sec \theta, \\\\ \text{ pois } \theta \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)[/tex3]

Então, a integral fica:

[tex3]\int \frac{dx}{x \cdot \sqrt{x^2+4}} = \int \frac{2 \cdot \sec^2 d\theta }{2 \tan \theta \cdot 2 \sec \theta } = \frac{1}{2} \cdot \int \frac{\sec \theta d\theta}{\tan \theta} = \frac{1}{2} \cdot \int \frac{\frac{1}{\cos \theta} d\theta}{\frac{\sen \theta}{\cos \theta}} = \\\\ \frac{1}{2} \cdot \int \csc \theta d \theta[/tex3]

Aqui vem o "pulo do gato":

Vamos multiplicar em cima e em baixo por [tex3]\csc \theta + \cot \theta[/tex3]:

[tex3]\frac{1}{2} \cdot \int \frac{\csc \theta \cdot (\csc \theta + \cot \theta) d\theta}{(\csc \theta + \cot \theta)} = \frac{1}{2} \cdot \int \frac{\csc^2 \theta + \csc \theta \cdot \cot \theta d\theta}{(\csc \theta + \cot \theta)}[/tex3]

Agora, fazendo:

[tex3]\csc \theta + \cot \theta = u \Leftrightarrow -\csc\theta \cot \theta - \csc^2 \theta d\theta = du \therefore d\theta = -\frac{du}{\csc^2\theta + \csc \theta \cdot \cot \theta}[/tex3]

, temos:

[tex3]\frac{1}{2} \cdot \int \frac{\csc^2 \theta + \csc \theta \cdot \cot \theta }{u} \cdot \left( - \frac{du}{\csc^2 \theta + \csc \theta \cdot \cot \theta}\right) = -\frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u} du = \\\\ -\frac{1}{2} \cdot \ln |u| + C = -\frac{1}{2} \cdot \ln |\csc \theta + \cot \theta| + C = -\frac{1}{2} \cdot \ln \left( \csc \theta + \cot \theta \right) , \\\\ \text{ pois } \theta \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)[/tex3]

Voltando no triângulo, temos:

[tex3]\csc \theta = \frac{\sqrt{x^2+4}}{x}, \cot \theta = \frac{2}{x} \Leftrightarrow \csc \theta + \cot \theta = \frac{2 + \sqrt{x^2+4}}{x}[/tex3]

Então a resposta final é:

[tex3]-\frac{1}{2} \cdot \left[ \ln \left( \frac{2 + \sqrt{x^2+4}}{x} \right) \right] + C[/tex3]

Porém, note ainda que podemos simplificar a resposta um pouco mais devido à propriedade do logaritmo que nos diz que [tex3]\log \left( \frac{a}{b} \right) = \log a - \log b[/tex3] , então a resposta simplificada passa a ser:

[tex3]-\frac{1}{2} \cdot \left[ \ln \left( 2+ \sqrt{x^2+4} \right) - \ln(x) \right] + C[/tex3]

Finalizando:

[tex3]\boxed{\boxed{ \frac{\ln(x)}{2} - \frac{\ln\left( 2 + \sqrt{x^2+4} \right)}{2} + C} }[/tex3]

Ufa!

Bom exercício.

Grande abraço,
Pedro.