Pré-Vestibular ⇒ (UNAERP - Medicina) Progressão Geométrica Tópico resolvido

[magabi2552]

A razão de uma progressão geométrica crescente cujos termos são ângulos internos de um triângulo retângulo é:

a-) [tex3]\left(\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\right)[/tex3]
b-) [tex3]\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)[/tex3]
c-) [tex3]\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)[/tex3]
d-) [tex3]\left(\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}\right)[/tex3]
e-) [tex3]\left(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\right)[/tex3]

Resposta

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Resposta: Alternativa: C

[LucasPinafiMOD]

Se o triângulo é retângulo, então um dos ângulo é reto. Sejam [tex3]x,y[/tex3] os ângulos restantes;

[tex3]x+y=\frac{\pi}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} - y[/tex3]

Temos a PG:

[tex3](x,y,\frac{\pi}{2}) = ( \frac{\pi}{2}- y , y , \frac{\pi}{2})[/tex3]

Assim, devemos ter que:

[tex3]y^2 = (\frac{\pi}{2}-y ) \frac{\pi}{2} \Rightarrow y= \left(\frac{\pi}{2} \right)^2- \frac{\pi}{2} y \\ y^2 + \frac{\pi}{2} y- \left( \frac{\pi}{2} \right)^2 =0 \Rightarrow y = \frac{\pi}{2} \left( \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)[/tex3]

Segue então que:

[tex3]r= \frac{\dfrac{\pi}{2}}{y}= \frac{1}{\dfrac{-1+ \sqrt{5}}{2}}= \frac{2}{\sqrt{5}-1}= \frac{2(1+\sqrt{5})}{5-1}= \frac{\sqrt{5}+1}{2}[/tex3]