IME/ITA ⇒ (Simulado ITA) Eletrostática/MHS Tópico resolvido

[LPavaNNN]

Determine o período das pequenas oscilações de quatro corpos carregas, unidos por fios iguais de comprimento l, conforme mostrado na figura abaixo.

eletrostáticaeMHS.jpg (9.98 KiB) Exibido 3559 vezes

Nesta mesma figura, é mostrado o movimento dos corpos durante as oscilações. A massa e a carga de cada corpo são m e q, respectivamente

e=permissividade elétrica.

a) [tex3]T=2\pi \sqrt{\frac{ 4\pi eml^3}{\sqrt2 q^2}}[/tex3]
b) [tex3]2\pi \sqrt{\frac{ 4\pi eml^3}{\sqrt3 q^2}}[/tex3]
c) [tex3]2\pi \sqrt{\frac{ 4\pi eml^3}{\sqrt5 q^2}}[/tex3]
d) [tex3]2\pi \sqrt{\frac{ 4\pi eml^3}{\sqrt6 q^2}}[/tex3]
e) [tex3] 2\pi \sqrt{\frac{ 4\pi eml^3}{\sqrt7 q^2}}[/tex3]

[jrneliodias]

Olá, Lucas.

A figura abaixo representa o momento que foi feito um pequeno deslocamento x

gh.png (20.07 KiB) Exibido 3555 vezes

Dessa forma, temos que para o par contido na diagonal maior:

[tex3]2T\cos \theta-F=-m\ddot{x}[/tex3]

[tex3]\frac{2T}{l}\,\left(\frac{l\sqrt{2}}{2}+x\right)-\frac{kq^2}{\left(l\sqrt2+2x\right)^2}=-m\ddot{x}[/tex3]

Notemos que [tex3]l>>x[/tex3], então podemos aplicar a Desigualdade de Bernoulli

[tex3]\frac{1}{\left(l\sqrt2+2x\right)^2}=\frac{\left(1+\frac{2x}{l\sqrt{2}}\right)^{-2}}{2l^2}=\frac{1-\frac{4x}{l\sqrt{2}}}{2l^2}[/tex3]

Substituindo na equação, teremos

[tex3]\frac{2T}{l}\,\left(\frac{l\sqrt{2}}{2}+x\right)-\frac{kq^2}{2l^2}\left(1-\frac{4x}{l\sqrt{2}}\right)=-m\ddot{x}[/tex3]

Analogamente, para a diagonal menor, temos

[tex3]F-2T\sin \theta=-m\ddot{x}[/tex3]

Chegaremos a


[tex3]\frac{kq^2}{2l^2}\left(1+\frac{4x}{l\sqrt{2}}\right)-\frac{2T}{l}\,\left(\frac{l\sqrt{2}}{2}+x\right)=-m\ddot{x}[/tex3]

Somando as duas equações, teremos

[tex3]\frac{4kq^2}{l^3\sqrt{2}}\,x=-2m\ddot{x}[/tex3]

[tex3]\ddot{x}+\frac{\sqrt{2}q^2}{4\pi e ml^3}\,\,x=0[/tex3]

Portanto,

[tex3]T=2\pi \sqrt{\frac{4\pi e ml^3}{q^2\sqrt 2}}[/tex3]

Espero ter ajudado, abraço.

[LPavaNNN]

Só uma dúvida, provavelmente boba . O que representa esse x com 2 pontos em cima ? Eu iria igualar essa força resultante à m.a.w² ( massa x amplitude x velocidade angular²), ja que aw² representa a aceleração máxima...

[LucasPinafiMOD]

Significa derivada. Ele colocou x como função da posição, ou seja, x = x(t).
A primeira derivada de x, x'(t) (ou então x com um ponto em cima) é a velocidade;
A derivada da velocidade é a aceleração, que pode ser representado com um x e dois pontos em cima.

Resumindo, é a aceleração.

[LPavaNNN]

Entendi, valeu .

[LPavaNNN]

Por que as intereções entre as cargas que não estão na mesma diagonal n foram consideradas? por exemplo, no caso das cargas que estão na maior diagonal do paralelogramo,não deveria ser : [tex3]-\frac{kq^2}{(L\sqrt2+2x)^2}-2.\frac{kq^2}{L^2}.cos\theta+2Tcos\theta=-mx''\\[/tex3]?

[LPavaNNN]

o valor de 2tsin(theta) está errado tbm .

[jrneliodias]

Olá. Lucas.

Estava tentando achar um erro, mas não consegui. Então tentei fazer por energia. Calculemos a energia na início do movimento,

[tex3]E_m=4\left(\frac{1}{2}\,m\,v^2\right)+4\,\frac{kq^2}{\ell}+2\,\frac{kq^2}{\ell\sqrt 2}[/tex3]

[tex3]E_m=2\,m\,v^2+2\,\frac{kq^2}{\ell}+\frac{kq^2\sqrt 2}{\ell}[/tex3]


Feito isso, analizemos na amplitude máxima, como na figura que postei, assim

[tex3]E_m=4\,\frac{kq^2}{\ell}+\frac{kq^2}{\ell\sqrt 2-2A}+\frac{kq^2}{\ell\sqrt 2+2A}[/tex3]

[tex3]E_m=4\,\frac{kq^2}{\ell}+\ell \sqrt 2\,\frac{kq^2}{\ell-2A^2}[/tex3]

[tex3]E_m=4\,\frac{kq^2}{\ell}+\frac{kq^2\sqrt 2}{\ell-2A^2}[/tex3]

[tex3]E_m=4\,\frac{kq^2}{\ell}+\frac{kq^2\sqrt 2}{\ell}\left(1-\frac{2A^2}{\ell^2}\right)^{-1}[/tex3]

[tex3]E_m=4\,\frac{kq^2}{\ell}+\frac{kq^2\sqrt 2}{\ell}+\frac{2\sqrt 2\,kq^2A^2}{\ell^3}[/tex3]

Dessa forma, como o sistema é conservativo, a energia mecânica é constante, assim,

[tex3]2mv^2=\frac{2\sqrt 2\,kq^2A^2}{\ell^3}[/tex3]

Temos que [tex3]v=\omega A[/tex3],

[tex3]m\omega^2\,A^2=\frac{2\sqrt 2\,kq^2A^2}{\ell^3}[/tex3]

[tex3]\omega=\sqrt{\frac{\sqrt 2\,kq^2}{m\ell^3}}[/tex3]

[tex3]T=2\pi\sqrt{\frac{m\ell^3}{\sqrt 2\,kq^2}}[/tex3]

Portanto, esse resulta me fez concluir que a força elétrica que que existe entre duas cargas ligadas por um fio apenas intesifica a tração. Ela, por sua vez, sendo uma força interna do sistema, não altera o período do sistema. Então, nem devia colocar ela nos calculos. Ou isso é uma incrível coincidência.

Espero ter ajudado, abraço.