Ensino Médio ⇒ Calcule a matriz formada pelos coeficientes abaixo

[andersontricordiano]

Seja A a matriz formada pelos coeficientes do sistema linear abaixo:

[tex3]\begin{cases}\lambda\cdot x + y + z = \lambda + 2\\
x + \lambda\cdot y + z = \lambda + 2\\
x + y + \lambda\cdot z = \lambda + 2\end{cases}[/tex3]


a) Ache as raízes da equação det [tex3]A=0[/tex3] ( Sugestão [tex3]x^3-3x+2= x^3-x^2-2x+2[/tex3] e fatore)
b) Ache a solução geral para [tex3]\lambda=-2[/tex3]

Resposta

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Respostas:

a) 1 e -2
b) S= {([tex3]\alpha,\alpha,\alpha[/tex3])}

Agradeço quem resolver!

[diogopfp]

Usando Teorema de LAPLACE,
[tex3]\det(A)=\lambda(\lambda^2-1)-(\lambda-1)+(1-\lambda)=0[/tex3]
[tex3]\det(A)=\lambda(\lambda^2-1)-2(\lambda-1)=0[/tex3]
[tex3]\det(A)=\lambda(\lambda-1)(\lambda+1)-2(\lambda-1)=0[/tex3]
[tex3]\det(A)=(\lambda-1)(\lambda(\lambda+1)-2)=0[/tex3]
[tex3]\det(A)=(\lambda-1)(\lambda^2+\lambda-2)=0[/tex3]

[tex3]\lambda-1=0 \ \Rightarrow \ \lambda=1[/tex3]
[tex3]\lambda^2+\lambda-2=0 \ \Rightarrow \ \lambda=1,-2[/tex3]
Portanto os valores para [tex3]\lambda[/tex3] são -2 e 1.


Como o determinante para [tex3]\lambda=-2[/tex3] é zero, o sistema é indeterminado. Assim tomando [tex3]z=\alpha[/tex3] e fazendo a segunda equação menos a terceira,
[tex3]x-2y+\alpha-x-y+2\alpha=0[/tex3]
[tex3]-3y+3\alpha=0[/tex3]
[tex3]y=\alpha[/tex3]
substituindo na primeira equação,
[tex3]-2x+\alpha+\alpha=0[/tex3]
[tex3]-2x+2\alpha=0[/tex3]
[tex3]x=\alpha[/tex3]

Portanto o conjunto solução é [tex3]S=\{(\alpha,\alpha,\alpha)\}[/tex3]

[Gauss]

Alguém pode me explicar qual o motivo das soluções iguais a [tex3]\alpha[/tex3], O.o?

[undefinied3]

[tex3]\alpha[/tex3] é um número qualquer pertencente aos reais que está livre. Há infinitas soluções para o sistema, então apenas escrevemos o "jeitão" das soluções em função de algum valor variável.

[Gauss]

Muito obrigado, undefinied3!