Ensino Superior ⇒ Aplicações do Cálculo integral: Volume de Sólidos por Cortes Tópico resolvido

[iceman]

Alguém poderia me ajudar nessa questão ?


A região [tex3]R[/tex3] , limitada pelas curvas y=x e y=[tex3]x^2[/tex3] , é girada ao redor da reta [tex3]y=2[/tex3] . Obtenha o volume do sólido resultante.

Resposta

---

R.:[tex3]\frac{8\pi}{15}u^3[/tex3]

[iceman]

Alguém?

[Cardoso1979]

Observe:

Ao efetuarmos os "cortes"( fatiamento, conhecido também como método das cascas cilíndricas ), chegaremos ao seguinte resultado: A(y) = 2π( raio )( altura )= 2π.( y - 2 ).( y - [tex3]\sqrt{y}[/tex3] ), então , [tex3]\Delta v [/tex3]~2π( y - 2 ).( y - [tex3]\sqrt{y}[/tex3] ).[tex3]\Delta y[/tex3]
( largura x altura x espessura ), basta então aplicar o limite para [tex3]\Delta y [/tex3] tendendo a zero e obtemos a integral:

V = [tex3]2π\int\limits_{0}^{1}( y - 2 ).( y - \sqrt{y}) dy[/tex3]

V = [tex3]2π\int\limits_{0}^{1}( y² - y \sqrt{y}
- 2y + 2\sqrt{y} ) dy [/tex3]

V = [tex3]2π\int\limits_{0}^{1}( y² - y^{\frac{3}{2}}- 2y + 2.y^{\frac{1}{2}}) dy [/tex3]

Calculando a integral, resulta em;

V = [tex3]2π[/tex3].( [tex3]\frac{1³}{3} - \frac{2}{5}.\sqrt{1^{5}} - 1² + 2.\frac{2}{3}.\sqrt{1^{3}}[/tex3] )

V = [tex3]2π[/tex3].( [tex3]\frac{1}{3} - \frac{2}{5} - 1 + \frac{4}{3} [/tex3] )

V = [tex3]2π[/tex3].( [tex3]\frac{5}{3} - \frac{2}{5} - 1[/tex3] )

V = [tex3]2π[/tex3].( [tex3]\frac{25 - 6 - 15}{15}
[/tex3] )

V = [tex3]\frac{8π}{15}[/tex3]

Portanto, o volume vale [tex3]\frac{8π}{15}u³[/tex3]

Nota 1:

y = x [tex3]\rightarrow [/tex3] x = y

e

y = x² [tex3]\rightarrow [/tex3] x = [tex3]\sqrt{y}[/tex3]

Então;

[tex3]\sqrt{y}[/tex3] = y [tex3]\rightarrow [/tex3]
y² - y = 0 , raízes y = 0 ou y = 1( são os limites de integração c = 0 e d = 1 )

Graficamente

15173247797181176215926.jpg (36.46 KiB) Exibido 1217 vezes

Nota 2:

Uma outra maneira seria usando o método dos discos, basta usar a seguinte fórmula:

V = [tex3]π \int\limits_{a}^{b}[ ( f_{1}(x) - k )^2 - ( f_{2}(x) - k )^2 ]dx[/tex3]

Onde a = 0 e b = 1( intersecção das retas y = x e y = x² ) , [tex3]f_{1}(x) = x²[/tex3] , [tex3]f_{2}(x) = x[/tex3] e k = 2.

Logo;

V = [tex3]π \int\limits_{0}^{1}[ ( x² - 2 )^2 - ( x - 2 )^2 ]dx[/tex3]

Efetuando os cálculos acima , resulta em ;

V = [tex3]\frac{8π}{15}u³[/tex3]

Bons estudos para quem for pesquisar esta solução!