Pré-Vestibular ⇒ (UENP - 2014) Progressão Geométrica e Logarítmo Tópico resolvido

[magabi2552]

De acordo com o IBGE, a população aproximada da cidade de Cornélio Procópio no ano de 2014 é de 48.487 habitantes. O Ipardes aponta que a taxa de crescimento urbano da cidade é de 0,37 % ao ano. Para abrir uma franquia de cursos profissionalizantes é necessário que a cidade tenha ao menos 100 mil habitantes. Em que ano a cidade terá o número de habitantes necessário para abrir a franquia? (Utilize os valores aproximados de: log 206= 2,313867 e log 10.037= 4,001603).
a) 2209.
b) 2210.
c) 2211.
d) 2212.
e) 2213.

Resposta: Alternativa: (B)

[ttbr96]

O logarítmo na base 10 de um número positivo é constiruido de duas partes:
1) uma parte inteira, chamada característica, e
2) uma parte decimal, denominada mantissa.

A mantissa é determinada pela sequência de algarismos do número sem considerar a posição da vírgula, ao passo que a característica é determinada somente pela posição da vírgula.

Para os números maiores que 1, a característica é uma unidade menos do que o número de algarismos à esquerda da vírgula.

Para números entre 0 e 1, a caracterísca se acha contando o número de zeros entre entre a vírgula e o primeiro algarismo significativo, subtraindo-o de 9 e escrevendo em seguida -10.

vejamos o log 206: a sua mantissa é igual a 0,313867 e a característica é igual a 2 (o 206 tem três algarismos), então log 206 = 2,313867

já no log 2,06: a mantissa é igual a 0,313867 e a característica é igual a 0 (há apenas um algarismo a esquerda da vírgula), então log 2,06 = 0,313867

agora, vamos à questão:

seja n = tempo (em anos)

então:
[tex3]48.487(1 + 0,0037)^n \approx 100.000 \\\\
48.487(1,0037)^n \approx 100.000 \\\\
1,037^n \approx 2,06 \\\\
n \log 1,037 \approx \log 2,06 \\\\
n \approx \frac{\log 2,06}{\log 1,0037} \\\\\\
n \approx \frac{0,313867}{0,001603} \\\\
n \approx 196[/tex3]

logo: a cidade atingirá, aproximadamente, 100.000 habitantes em: 2014 + 196 = 2210.