Concursos Públicos ⇒ (UnB SEDU-ES) Geometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Em um círculo de raio [tex3]R[/tex3], considere um polígono regular [tex3]P_1[/tex3], de [tex3]6[/tex3] lados, inscrito no círculo, e um polígono [tex3]P_2[/tex3], também regular, de [tex3]12[/tex3] lados, também inscrito no círculo. A respeito desses entes geométricos, julgue os itens seguintes.

(1) O comprimento dos lados do polígono [tex3]P_1[/tex3] é igual ao dobro do comprimento do lado do polígono [tex3]P_2[/tex3].
(2) Cada lado do polígono [tex3]P_2[/tex3] mede [tex3]2Rsen15^\circ[/tex3].

Resposta

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E, C

[Ittalo25MOD]

(1)

Lei dos cossenos:

[tex3]P_1^2 = R^2 + R^2 - 2R^2 \cdot cos\left(\frac{360^o}{6}\right)[/tex3]

[tex3]P_1 = R[/tex3]

[tex3]P_2^2 = R^2 + R^2 - 2R^2 \cdot cos\left(\frac{360^o}{12}\right)[/tex3]

[tex3]P_2 =R\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}[/tex3]

A questão diz:

[tex3]P_1 = 2\cdot P_2[/tex3]
[tex3]R = 2\cdot R\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{4} = 2-\sqrt{3}[/tex3]

Falso

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(02)

[tex3]P_2 =R\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}[/tex3]

Vejamos:

[tex3]sen(15^o) = \sqrt{\frac{1-cos(30^o)}{2}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}[/tex3]

Verdadeiro