Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 2005) Geometria Plana: Triângulos Tópico resolvido

[FMRY]

Na figura abaixo, as [tex3]12[/tex3] circunferências têm todas o mesmo raio [tex3]r;[/tex3] cada uma é tangente a duas outras e ao quadrado. Sabendo-se que cada uma das retas suporte das diagonais do quadrado tangencia quatro das circunferências , e que o quadrado tem lado [tex3]2\sqrt{7},[/tex3] determine [tex3]r.[/tex3]

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Pelo teorema de Pitágoras aplicado no triângulo retângulo indicado na figura, temos

• [tex3](2r)^2=(r+x)^2+(r+x)^2\Longrightarrow x=(\sqrt{2}-1)r.[/tex3]

Por outro lado,

• [tex3]4r+2x=2\sqrt{7}\Longrightarrow 4r+2(\sqrt{2}-1)r=2\sqrt{7}\Longrightarrow r=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2+1}}[/tex3]