Ensino Superior ⇒ Primitiva Tópico resolvido

[minkowski]

Eu quero uma primitiva da expressão:
[tex3]\frac{t^{s-1}}{e^t}[/tex3]
Preciso dela pra resolver essa integral:
[tex3]\int\frac{t^{s-1}}{e^t - 1} dt[/tex3]
Pois:
[tex3]\frac{1}{e^t-1}=\frac{1}{e^t}+\frac{1}{e^{2t}}+\frac{1}{e^{3t}}+\frac{1}{e^{4t}}+...[/tex3]

[Toplel94]

[tex3]\int (t^{s-1})e^{-t} dt[/tex3].

s=2,
[tex3]\int t e^{-t}dt=-te^{-t}+\int e^{-t}dt=-te^{-t}-e^{-t}=-e^{-t}(t+1)[/tex3]
s=3,
[tex3]\int t^2 e^{-t}=-t^2e^{-t}+2\int t e^{-t}dt[/tex3]. Repare que já temos resultado dessa última primitiva:
[tex3]\int t^2 e^{-t}=-t^2e^{-t}-2[e^{-t}(t+1)][/tex3].
Repare que você vai já utilizando uma primitiva anterior para resolver a posterior (no qual facilita o cálculo
[tex3]\int t^{s-1}e^{-t}dt=-t^{s-1}e^{-t}+(s-1)\int t^{s-2}e^{-t}dt=-t^{s-1}e^{-t}+(s-1)[-t^{s-2}e^{-t}+(s-2)\int t^{s-3}e^{-t}dt][/tex3]

[tex3]=-t^{s-1}e^{-t}-(s-1)t^{s-2}e^{-t}+(s-1)(s-2)\int t^{s-3} e^{-t}dt[/tex3], logo:
[tex3]=-t^{s-1}e^{-t}-(s-1)t^{s-2}e^{-t}+(s-1)(s-2)[-t^{s-3}e^{-t}+(s-3) \int t^{s-4} e^{-t} dt][/tex3]
[tex3]=-t^{s-1}e^{-t}-(s-1)t^{s-2}e^{-t}-(s-1)(s-2)t^{s-3}e^{-t}+(s-1)(s-2)(s-3)\int t^{s-4} e^{-t}dx[/tex3]
[tex3]=-t^{s-1}e^{-t}-(s-1)t^{s-2}e^{-t}-(s-1)(s-2)t^{s-3}e^{-t}-(s-1)(s-2)(s-3)t^{s-4}e^{-t}- \ldots -\ldots-(s-1)!e^{-t}[/tex3]

[minkowski]

Como ficaria pra [tex3]\frac{t^{s-1}}{e^{nt}}[/tex3]? Poderia expressar os fatoriais em função de [tex3]\Gamma(s)[/tex3]?