Pré-Vestibular ⇒ (Suprema - 2012) Logaritmos Tópico resolvido

[Alineluba17]

A equação [tex3]3^{2x}-9\cdot 3^{x}+18=0[/tex3] satisfeita por :

A) [tex3]\log 2[/tex3]
B) [tex3]1/3\log6[/tex3]
C) [tex3]1+\log(2/3)[/tex3]
D) [tex3]1+\log2/\log3[/tex3]

Resposta

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letra D

[jrneliodias]

Olá, Aline.

Para facilitar a visualização, podemos usar uma variável imaginária como [tex3]n=3^x[/tex3], então nossa equação fica

[tex3]n^2-9n+18=0[/tex3]

Ela nos proporcionou visualizar que temos uma equação do segundo grau em [tex3]3^x[/tex3], assim

[tex3]n^2-9n+18=0\,\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\,\,n=6\,\,\,ou\,\,\,n=3[/tex3]

Ou seja,

[tex3]3^x=3\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,x=1[/tex3]

[tex3]3^x=6\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,x=\log_3 6\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,x=1+\log_3 2\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,x=1+\frac{\log 2}{\log 3}[/tex3]

Espero ter ajudado. Bons estudos.

[Alineluba17]

Muito obrigada , mas você poderia me explicar essa parte final em que você transforma em logaritmo não entendi direito ?

[jrneliodias]

Então, devemos entender que logaritmo significa expoente, isto é, qual é o expoente que devemos dar ao 3 para que ele se torne 6? É um número que representamos por [tex3]\log_3 6[/tex3], o número que queremos dar o expoente fica embaixo e o resultado que queremos obter fica em cima.

[tex3]3^{\log_3 6}=6[/tex3]

Isso também é explicado matematicamente, pois qual é o expoente que damos ao 3 para que ele continue 3? Ou seja, [tex3]\log_3 3[/tex3]? É 1, certo? Então, como logaritmo é uma função injetiva e a equação só aceita números positivos, podemos aplica log na base 3 dos dois lados,

[tex3]\log_33^x=\log_3 6[/tex3]

Assim, qual é o expoente que damos a [tex3]3[/tex3] para ele se tornar [tex3]3^x[/tex3]? [tex3]x[/tex3], certo? Substituindo o logaritmo então

[tex3]x=\log_3 6[/tex3]

Espero ter ajudado. Bons estudos.