Pré-Vestibular ⇒ (UnB) Coordenadas Cartesianas Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

No sistema de coordenadas cartesianas [tex3]\text{x}O\text{y}[/tex3], em que a unidade de medida de comprimento é o centímetro, considere o conjunto [tex3]A=\{(\text{x},\ \text{y})[/tex3] tais que [tex3]|\text{x}|\ +\ |\text{y}|\ \leq \ 1\}[/tex3], para julgar os itens que se seguem.

(1) O perímetro de [tex3]\text{A}[/tex3] é igual a [tex3]4\ \text{cm}[/tex3].
(2) A área de [tex3]\text{A}[/tex3] é igual a [tex3]2\ \text{cm}^2[/tex3].

Resposta

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E, C

[csmarceloMOD]

A equação [tex3]x+y=1[/tex3], ([tex3]y=1-x[/tex3] em sua forma reduzida), determina o seguinte gráfico no plano cartesiano:

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Suponha que o par ordenado [tex3](x_1, y_1)[/tex3] seja solução da equação dada.

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Obviamente, para qualquer [tex3]x_2\leq x_1[/tex3] e [tex3]y_2\leq y_1[/tex3], teremos [tex3]x_2+y_2\leq 1[/tex3].

Nas condições acima, qualquer ponto de coordenadas [tex3](x_2,y_2)[/tex3] estará localizado na mesma região (a reta divide o plano em duas regiões) da do ponto mostrado abaixo.

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Temos, então, que a inequação [tex3]x+y\leq 1[/tex3] determina a região formada por todos os pontos [tex3](x_2,y_2)[/tex3] tais que [tex3]x_2\leq x_1[/tex3] e [tex3]y_2\leq y_1[/tex3], onde [tex3](x_1, y_1)[/tex3] é solução da equação [tex3]x+y=1[/tex3].

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Agora, a entrada dos módulos.

Com o uso deles, o que acontece é que os sinais deixam de importar. Em outras palavras, se [tex3](a,b)[/tex3] é solução da equação [tex3]x+y=1[/tex3], então [tex3](a,b)[/tex3], [tex3](a,-b)[/tex3], [tex3](-a,b)[/tex3] e [tex3](-a,-b)[/tex3] são soluções de [tex3]\mid x\mid+\mid y\mid=1[/tex3].

Ainda de outra forma, podemos dizer que as soluções de [tex3]\mid x\mid+\mid y\mid=1[/tex3] correspondem à união das soluções das 4 equações abaixo:

[tex3]x+y=1[/tex3]
[tex3]x+(-y)=1[/tex3]
[tex3](-x)+y=1[/tex3]
[tex3](-x)+(-y)=1[/tex3], onde, no plano cartesiano, teríamos o seguinte gráfico:

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Agora, analisando apenas mais uma das equações derivadas da modular.

Veja que, por exemplo, na equação [tex3]x+(-y)=1[/tex3], ao termos o sinal de [tex3]y[/tex3] invertido, para qualquer [tex3]x_2\leq x_1[/tex3] e [tex3]y_2\ {\color{red}\geq}\ y_1[/tex3], teremos [tex3]x_2+y_2\leq 1[/tex3]. Com isso, o gráfico que representa esta inequação é o seguinte:

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E se você analisar/desenhar o gráfico das outras duas equações, verá que, no final das contas, todo o plano será tomado, sendo a região delimitada pelas quatro retas a interseção das quatro regiões (uma de cada inequação), sendo, portanto, a solução da inequação [tex3]\mid x\mid+\mid y\mid\leq1[/tex3].

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Bem, agora você tem um quadrado cujo lado mede [tex3]\sqrt{2}[/tex3] e fica fácil validar as afirmações.