Pré-Vestibular ⇒ (UnB) Coordenadas Cartesianas Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

No sistema de coordenadas cartesianas [tex3]\text{x}O\text{y}[/tex3], em que a unidade de medida de comprimento é o centímetro, considere o conjunto [tex3]A=\{(\text{x},\ \text{y})[/tex3] tais que [tex3]|\text{x}|\ +\ |\text{y}|\ \leq \ 1[/tex3], para julgar os itens que se seguem.

(1) Se [tex3](\text{x},\ \text{y}) \in A[/tex3], [tex3]0\ \leq\ \theta\ <\ 2\pi[/tex3], [tex3]\text{z}=\text{x}\ +\ \text{iy}[/tex3] e [tex3]\text{w}=cos\ \theta\ +\ \text{i}\ sen\ \theta[/tex3], então [tex3]\text{z}.\text{w} \in A[/tex3].
(2) Se [tex3]-A=\{(-\text{x},\ -\text{y})[/tex3] tais que [tex3](\text{x},\ \text{y}) \in A[/tex3], então [tex3]-A=A[/tex3].

Resposta

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E, C

[csmarceloMOD]

(UnB) Coordenadas Cartesianas

(1)

ALDRIN,

O gabarito é esse mesmo? A afirmação é essa mesmo?

(2)

...então [tex3](a,b)[/tex3], [tex3](a,-b)[/tex3], [tex3](-a,b)[/tex3] e [tex3](-a,-b)[/tex3] são soluções de [tex3]\mid x\mid+\mid y\mid=1[/tex3].

Assim, se:

[tex3]-A=\{(-\text{x},\ -\text{y})[/tex3] tais que [tex3](\text{x},\ \text{y}) \in A\}[/tex3]
[tex3]\pm A=\{(\text{x},\ -\text{y})[/tex3] tais que [tex3](\text{x},\ \text{y}) \in A\}[/tex3]
[tex3]\mp A=\{(-\text{x},\ \text{y})[/tex3] tais que [tex3](\text{x},\ \text{y}) \in A\}[/tex3]

Então,

[tex3]A=-A=\pm A=\mp A[/tex3]

[ALDRINMOD]

Sim, é uma questão com 6 itens e que estou dividindo. Mas o enunciado é o mesmo.

[csmarceloMOD]

Realmente está tudo certo.

Como [tex3]w[/tex3] possui módulo igual a 1, o número complexo resultado do produto [tex3]z\cdot w[/tex3] terá o mesmo módulo de [tex3]z[/tex3], ou seja, ambos pertencerão à circunferência de centro na origem do plano e raio igual a [tex3]\mid z\mid[/tex3].

A medida que [tex3]z[/tex3] se aproxima de um dos vértices do quadrado, o raio da circunferência aumenta e se este ultrapassar a distância da origem do plano a um dos lados do quadrado (que é a mesma para os 4 lados) algum trecho da circunferência ficará fora do quadrado e, dependendo de [tex3]\theta[/tex3], [tex3]z\cdot w[/tex3] poderá estar localizado nessa parte, fazendo com que não pertença à A.

No final do post tem uma demonstração com o Geogebra.

Informações sobre a demonstração:

[tex3]z_1[/tex3] é o número complexo [tex3]z=x+iy[/tex3]. Você pode movê-lo livremente, mas, como [tex3](x,y)\in A[/tex3], você deve mantê-lo dentro do quadrado destacado.

[tex3]w=a+ib[/tex3] é um número complexo de módulo igual a 1. Para conseguir isso, fiz [tex3]b=\sqrt{1-a^2}[/tex3].

Você pode movê-lo de forma limitada mexendo no controle deslizante vinculado à variável [tex3]a[/tex3], que é o que define a parte real do número.

O número 1 próximo ao segmento que vai do centro do plano ao número complexo [tex3]w[/tex3] corresponde à sua medida. É um valor calculado dinamicamente e serve como prova de que o módulo de [tex3]w[/tex3] sempre é igual a 1.

O número [tex3]z_2[/tex3] é resultado do produto [tex3]z\cdot w[/tex3]. Como você poderá observar ao alterar a posição de [tex3]w[/tex3] a partir do controle deslizante, [tex3]z_2[/tex3] irá deslizar pela circunferência.

Se você deslizar [tex3]z_1[/tex3] o suficiente (ultrapassar a circunferência vermelha), alguns trechos da circunferência móvel irá ultrapassar o quadrado e mexendo no controle deslizante que determina [tex3]w[/tex3], você conseguirá em algum momento posicionar [tex3]z_2[/tex3] fora do polígono.

Demonstração