IME / ITA ⇒ (IME - 1982) Binômio de Newton Tópico resolvido

[paulo testoniMOD]

Calcule o coeficiente do termo em [tex3]x^3,[/tex3] no desenvolvimento de [tex3](2x-3)^4(x + 2)^5.[/tex3]

[Karl Weierstrass]

O termo geral de [tex3](2x-3)^4[/tex3] é

• [tex3]T_{p+1}\,=\,{4\choose p}\,\cdot\,(2x)^{4-p}\,\cdot\,(-3)^p\,=\,(-1)^p\,\cdot\,{4\choose p}\,\cdot\,2^{4-p}\,\,\cdot\,3^p\cdot\,x^{4-p},[/tex3]

e o termo geral de [tex3](x + 2)^5[/tex3] é

• [tex3]T_{q+1}\,=\,{5\choose q}\,\cdot\,(x)^{5-p}\,\cdot\,2^q.[/tex3]

Desse modo,

• [tex3]T_{p+1}\,\cdot\,T_{q+1}\,=\,(-1)^p\,\cdot\,{4\choose p}\,\cdot\,{5\choose q}\,\cdot\,2^{4-p+q}\,\cdot\,3^p\cdot\,x^{9-p-q}.\hspace{50pt}(\ast )[/tex3]

Para determinarmos o coeficiente de [tex3]x^3,[/tex3] devemos impor [tex3]9\,-\,p\,-\,q\,=\,3\,\Longrightarrow\, p\,+\,q\,=\,6.[/tex3]

Como [tex3]0\,\leq\,p\,\leq\,4[/tex3] e [tex3]0\,\leq\,q\,\leq\,5[/tex3], temos:

[tex3]\hspace{40pt} p\,=\,1\,[/tex3] e [tex3]\,q\,=\,5[/tex3]
[tex3]\hspace{40pt} p\,=\,2\,[/tex3] e [tex3]\,q\,=\,4[/tex3]
[tex3]\hspace{40pt} p\,=\,3\,[/tex3] e [tex3]\,q\,=\,3[/tex3]
[tex3]\hspace{40pt} p\,=\,4\,[/tex3] e [tex3]\,q\,=\,2[/tex3]

Substituindo em [tex3](\ast )[/tex3] e simplificando, concluímos que o coeficiente de [tex3]x^3[/tex3] é [tex3]168.[/tex3]