Ensino Médio ⇒ Equação Polinomial do 4º Grau Tópico resolvido

[eusebio C.N 2008]

As raízes reais da equação [tex3]x^4 - 4x = 1[/tex3] pertencem ao intervalo:

a) [tex3](-3,0)[/tex3]
b) [tex3](0 ,3)[/tex3]
c) [tex3](-2,1)[/tex3]
d) [tex3](1,4)[/tex3]
e) [tex3](-1,2)[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá a todos,

Teorema de Bolzano: Seja uma função [tex3]f(x)[/tex3] contínua em um intervalo[tex3][a,b],[/tex3] tal que, [tex3]f(a)\cdot f(b)<0.[/tex3] Então a função [tex3]f(x)[/tex3] possui pelo menos uma raiz no intervalo [tex3][a,b].[/tex3]

Para esta questão, a variação do Teorema de Bolzano (que deve ter um nome próprio, mas no momento não me recordo) que devemos entender é o fato de que, se [tex3]p(x_1)\cdot p(x_2)> 0[/tex3] então, com certeza, o polinômio [tex3]p(x)[/tex3] tem uma quantidade par de raízes entre [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2[/tex3] (lembre-se que zero é par). Ou seja, os sinais de [tex3]p(x_1)[/tex3] e [tex3]p(x_2)[/tex3] devem ser os mesmos para que o polinômio tenha uma quantidade PAR de raízes no intervalo [tex3](x_1, x_2)[/tex3]

Se analisarmos o polinômio [tex3]p(x)=x^4-4x-1[/tex3] nos intervalos citados, podemos tirar várias conclusões. Começamos sabendo que [tex3]p(x)[/tex3] possui exatamente 4 raízes (sejam reais ou não).

(a) [tex3]p(-3) \gt 0[/tex3] e [tex3]p(0)< 0,[/tex3] isso indica que existe uma quantidade ímpar de raízes no intervalo citado. Não pode ser a resposta.

(b) [tex3]p(0)\lt 0[/tex3] e [tex3]p(3)> 0,[/tex3] não pode ser a resposta.

(c) [tex3]p(-2)\gt 0[/tex3] e [tex3]p(1)<0,[/tex3] não pode ser a resposta.

(d) [tex3]p(1)\lt 0[/tex3] e [tex3]p(4)> 0,[/tex3] não pode ser a resposta.

(e) [tex3]p(-1)> 0[/tex3] e [tex3]p(2)> 0,[/tex3] é a resposta.

Uma dúvida que pode aparecer é: e se tivesse duas alternativas com [tex3]p(x_1)\cdot p(x_2) \gt 0[/tex3], daí não poderia ser resolvido deste jeito.