Olimpíadas ⇒ (OBM) Infinitas soluções Tópico resolvido

[diogopfp]

(OBM) Mostre que a equação [tex3]x^2+y^2+z^2=3xyz[/tex3] tem infinitas soluções onde [tex3]x,y,z\in\mathbb{Z}[/tex3].

[undefinied3]

Fixemos x e y, obtendo uma equação de segundo grau em z:
[tex3]x^2+y^2+z^2=3xyz \rightarrow z^2 - 3xyz + (x^2+z^2)=0[/tex3]
Seja a terna (a,b,c) solução da equação, então se fizermos:
[tex3]z^2-3abz+(a^2+b^2)=0[/tex3]
Devemos obter dois possíveis valores para z. Veja que já afirmamos que c é solução, como a equação é de segundo grau, ela possui duas raízes e a soma dessas raízes é [tex3]3ab[/tex3]. É fácil ver que, então, a segunda solução é [tex3]3ab-c[/tex3]
Opa, então pera aí, encontramos outra terna (a,b,3ab-c) que também é solução. (Analogamente, podemos fazer o processo fixando x e z, para obter solução em y e o mesmo para x, então também podemos obter ternas (3bc-a,b,c) e (a,3ac-b))
É fácil ver que (1,1,1) é solução trivial, então pelo que descobrimos (1,1,2) também será. Isso é só um exemplo aplicando a descoberta.
Acho que isso já basta para provar que existem infinitas soluções, pois agora supomos que a terna (a,3ab-c,b) seja solução. Faremos a substituição k = 3ab-c, então (a,k,b) é solução. Repetindo o processo:
[tex3]z^2-3akz+(a^2+k^2)=0[/tex3]
3ak é a soma das raízes, b já é uma raiz, então 3ak-b é também. Desfazendo a substituição, temos [tex3]3a(3ab-c)-b = 9a^2b-3ac-b[/tex3], e a terna (a,3ab-c,[tex3]9a^2b-3ac-b[/tex3]) é solução.
Tomando a solução trivial (1,1,1), obtemos a solução (1,2,5), que de fato satisfaz.
Resumindo, podemos encontrar infinitas soluções através da seguinte iteração:
1- Fixa-se duas das três variáveis da equação, x e y por exemplo
2- Pegamos uma solução (a,b,c) e encontramos uma outra (a,b,3ab-c).
3- Trocamos de "posição" os valores da terna (porque ela não é ordenada) e obtemos, por exemplo, (a,3ab-c,b)
4- Repete-se 2 mas agora tomando a solução obtida ao trocar de posição os valores da terna.