Pré-Vestibular ⇒ (UFAM - Adapt.) Função Trigonométrica Tópico resolvido

[Gauss]

Dado [tex3]\tg \ \(\frac{x}{2}\)=\frac{1}{2}[/tex3], então, qual o valor de [tex3]\sen x -\cos \ x[/tex3]?

Resposta

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[tex3]\frac{1}{5}[/tex3]

[csmarceloMOD]

Fórmula da tangente do arco-metade:

[tex3]\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}[/tex3]

Assim,

[tex3]\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}=\frac{1}{2}\Rightarrow\cos x=\frac{3}{5}[/tex3]

Pela lei fundamental da trigonometria,

[tex3]\sin x=\pm\sqrt{1-\cos^2x}[/tex3]

Logo,

[tex3]\sin x=\pm\frac{4}{5}[/tex3]

Como a tangente e o cosseno são positivos, o seno também o será.

[tex3]\frac{4}{5}-\frac{3}{5}=\frac{1}{5}[/tex3]