Pré-Vestibular ⇒ (Estácio de Sá - 2015) Números Complexos Tópico resolvido

[Alineluba17]

Seja o numero complexo W=[tex3]\left(\frac{1-i}{1+i}\right)[/tex3] , então [tex3]W^{2015}[/tex3] vale:

A) 1
B) -1
C) -2i
D) -i
E) i

Resposta

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Resposta : letra e

[muriloflo]

[tex3]W=\left(\frac{1-i}{1+i}\right)[/tex3]
[tex3]W=\frac{(1-i)}{(1+i)}\cdot \frac{(1-i)}{(1-i)}[/tex3]
[tex3]W=\frac{1-i-i+i^{2}}{1-i+i-i^{2}}[/tex3]
lembrando que [tex3]i^{2}=-1[/tex3]
[tex3]W=-i[/tex3]
Agora repare isso:
[tex3]i^{0}=1[/tex3]
[tex3]i^{1}=i[/tex3]
[tex3]i^{2}=-1[/tex3]
[tex3]i^{3}=-i[/tex3]
[tex3]i^{4}=1[/tex3]
[tex3]i^{5}=i[/tex3]
[tex3]i^{6}=-1[/tex3]
[tex3]i^{7}=-i[/tex3]
.
.
.
Note que os valores se repetem de 4 em quatro. Logo, divida 2015 por 4 e você encontrará resto igual a 3. Como W é igual a -i, se você considerar -i como o primeiro termo, o segundo será 1 e o terceiro, que é a resposta, será i. É só seguir a sequência.
Espero ter ajudado.