Pré-Vestibular ⇒ (UnB) Números Complexos e Geometria Analítica Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O conjunto dos números complexos [tex3]z = x + iy,[/tex3] para os quais se tem que a parte real de [tex3]z^2[/tex3] é nula, é formado por um par de retas perpendiculares que passam pela origem do sistema de coordenadas?

[ALDRINMOD]

Pessoal, obtive as resoluções abaixo e gostaria que vocês, aqui do site, dessem comentários a respeito, sendo que o gabarito é um item considerado como certo pela UnB e se possível colocar através de gráficos.

1ª

Temos que [tex3]z^2 = x^2 - y^2 + 2xy i[/tex3]. Logo, [tex3]x^2 = y^2[/tex3], o que implica que x = y ou
x = -y. Temos as 2 bissetrizes dos eixos real e imaginário. São perpendiculares
e passam pela origem

Artur Costa
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2ª

Cada z (no plano xy de Argand) é representado pelo ponto P=(x,y) e [tex3]z^2=x^2-y^2+2ixy[/tex3]. Pelas condições impostas, só interessa considerar os pontos tais que: [tex3]x^2-y^2=0[/tex3] , ou seja: y=x, ou y=-x. A primeira equação representa a reta bissetriz do "primeiro quadrante" do plano; a segunda, a bissetriz do segundo quadrante, retas essas perpendiculares entre si (e que passam pela origem, é lógico). Essas retas constituem apenas *um par* dentre a infinidade de pares de retas perpendiculares que passam pela origem do sistema de coordenadas. Logo, a afirmação é errada .

Além disso, a redação da pergunta está incorreta porque o escrevente estava se referindo a *um par de retas perpendiculares que passa pela origem* ... e não, passam. Solicite a anulação da questão por ter ocorrido erro de Português por parte da Universidade. Mas não considere isto uma "quebrada de galho".

Josiah Willard

[cajuADMIN]

Olá Aldrin,

Não sei o que você não entendeu. As duas resoluções estão bem explicadas, apesar de um preciosismo extremo na segunda.

Temos o complexo [tex3]z=x+yi[/tex3], o exercício pede [tex3]z^2[/tex3], vamos elevar ao quadrado:

[tex3]z^2=(x+yi)^2=x^2+2xyi+(yi)^2=x^2+2xyi-y^2=x^2-y^2+2xyi[/tex3]

A parte imaginária é [tex3]2xyi[/tex3] e a parte real deste complexo é [tex3]x^2+y^2[/tex3], o exercício pede que seja nula esta parte, ou seja:

[tex3]x^2-y^2=0[/tex3]

[tex3]x=\pm y[/tex3]

Que é o par de retas perpendiculares [tex3]x=y[/tex3] e [tex3]x=-y[/tex3] que passam pela origem.

Acredito que o raciocínio imposto na sua segunda resolução seria cabível se o enunciado dissesse que a solução fosse "qualquer" par de retas perpendiculares que passasse pela origem, mas não é o que está escrito.

E quanto ao erro de português mencionado, deve ter sido um erro de digitação seu ao passar a questão para ele, pois nesse tópico você não digitou "passa" e sim "passam".