Pré-Vestibular ⇒ (PAS UnB) Números Complexos Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Considerando que, no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais [tex3]\text{x}O\text{y}[/tex3], cada ponto [tex3](\text{x},\ \text{y})[/tex3] do plano cartesiano seja identificado com um número complexo [tex3]\text{z} = \text{x} + \text{iy}[/tex3], em que [tex3]\text{i}^2 = -1[/tex3], julgue os itens a seguir.

(1) Se o número complexo [tex3]\text{z}[/tex3] correspondente ao ponto [tex3](5,\ 5\sqrt3)[/tex3] for escrito na forma trigonométrica [tex3]\text{z} = \text{r}(cos\theta + \text{i}sen\theta)[/tex3], em que [tex3]0\ \leq\ \theta\ <\ 360^\circ[/tex3], então [tex3]\theta[/tex3] será inferior a [tex3]50^\circ[/tex3].
(2) Sabendo-se que o número complexo [tex3]1 + \text{i}[/tex3] e o número real [tex3]\text{x}_0[/tex3] são raízes da equação [tex3]z^3-5z^2 + 8z-6 = 0[/tex3], é correto afirmar que [tex3]\text{x}_0[/tex3] é inferior a [tex3]4[/tex3].

Resposta

---

E, C

.

[baltuilhe]

Boa tarde!

(1)
[tex3]\tan(\theta)=\frac{5\sqrt{3}}{5}=\sqrt{3}\\
\theta=60^\circ[/tex3]
FALSO

(2)
Se um número complexo é raiz de um polinômio de coeficientes reais, seu conjugado também será raiz. Então, se 1+i é raiz, 1-i também é.
Montando, então, a equação do segundo grau (2 raízes) que tem as raízes indicadas acima.
Sabendo-se que S é soma das raízes e P é produto das mesmas, temos:
[tex3]S=(1+i)+(1-i)=2\\
P=(1+i).(1-i)=1^2-i^2=1+1=2\\
z^2-Sz+P=0\\
\boxed{z^2-2z+2=0}[/tex3]

Agora, só dividir a equação dada pela equação acima.
[tex3]\begin{array}{rccl}
z^3&-5z^2&+8z&-6 & | & z^2-2z+2\\
-z^3&+2z^2&-2z&&& z-3\\
&-3z^2&+6z&-6\\
&3z^2&-6z&+6\\
&&& 0
\end{array}[/tex3]
Então:
[tex3]\frac{z^3-5z^2+8z-6}{z^2-2z+2}=z-3\\
\boxed{z=3}[/tex3]

Então, a outra raiz vale 3. Portanto, inferior a 4.
VERDADEIRO

Espero ter ajudado!