Ensino Fundamental ⇒ Areas das figuras planas Tópico resolvido

[cicero444]

Calcular a área da região triangular ABC, dado BD=10 m.

[jedi]

triang.calc.png (37.39 KiB) Exibido 3648 vezes

por semelhança de triangulos

[tex3]\frac{y}{a}=\frac{r}{b}[/tex3]

[tex3]y=\frac{ar}{b}[/tex3]

[tex3]\frac{x}{c}=\frac{r}{b}[/tex3]

[tex3]x=\frac{rc}{b}[/tex3]

então o lado azul mede

[tex3]l_{azul}=\frac{r(c+a)}{b}[/tex3]

utilizando o mesmo pensamento temos que

[tex3]l_{vermelho}=\frac{r(c+b)}{a}[/tex3]

temos que o perimetro do triangulo é

[tex3]P=a+b+c=2.l_{azul}+2.l_{vermelho}+l_{verde}+l_{roxo}+l_{amarelo}+l_{marrom}[/tex3]


[tex3]a+b+c=2.l_{azul}+2.l_{vermelho}+\underbrace{l_{verde}+l_{marrom}}_{10}+\underbrace{l_{amarelo}+l_{roxo}}_{10}[/tex3]


[tex3]a+b+c=2\frac{r(c+a)}{b}+2\frac{r(c+b)}{a}+20[/tex3]

[tex3]a+b+c=\frac{2r(ca+bc+b^2+a^2)}{ba}+20[/tex3]

[tex3]a+b+c=\frac{2r(ca+bc+c^2)}{ba}+20[/tex3]

[tex3]a+b+c=\frac{2rc(a+b+c)}{ba}+20[/tex3]

[tex3]P=\frac{rc.P}{\frac{ba}{2}}+20[/tex3]

[tex3]P=\frac{rc.P}{A}+20[/tex3]

[tex3](P-20).A=rcP[/tex3]

mas a area também pode ser calculada por

[tex3]A=\frac{ar}{2}+\frac{cr}{2}+\frac{br}{2}+\frac{10r}{2}+\frac{10r}{2}[/tex3]

[tex3]A=\frac{r(P+20)}{2}[/tex3]

substituindo

[tex3](P-20).\frac{r(P+20)}{2}=rcP[/tex3]

[tex3](P-20).(P+20)=2cP[/tex3]

[tex3]P^2-2cP-400=0[/tex3]

[tex3](a+b+c)^2-2c(a+b+c)-400=0[/tex3]

[tex3]a^2+b^2+2ab+2c(a+b)+c^2-2c(a+b)-2c^2-400=0[/tex3]

[tex3]a^2+b^2+2ab-c^2-400=0[/tex3]

[tex3]c^2+2ab-c^2-400=0[/tex3]

[tex3]2ab=400[/tex3]

[tex3]4A=400[/tex3]

[tex3]A=100[/tex3]

[Babi123]

Não tem uma solução mais rápida?

[Auto Excluído (ID:12031)]

Babi123, acho que sim
[tex3]\alpha = \angle ABD, x = BD = 10[/tex3]
vamos ver a relação entre as areas de [tex3]\Delta ABD[/tex3] e [tex3]\Delta DBC[/tex3]
[tex3]\frac{S_1}{S_2} = \frac{p_1}{p_2} = \frac{AD}{DC}[/tex3]
então sendo [tex3]AD = s \iff DC = b -s[/tex3] então
[tex3](b-s)(s + 10 + c) = s(b-s+10+a) \iff (b-s)(10+c) = s(10+a) \iff \frac{s}{b-s} = \frac{x+c}{x+a} = \frac{S_1}{S_2}[/tex3]

acho que sai daqui:
[tex3]\frac{S_1}{S_2} = \frac{c \sen \alpha}{a \cos \alpha}[/tex3]
[tex3]cx \sin \alpha + ax \cos \alpha = ac[/tex3]
[tex3]x ( a \cos \alpha + c \sin \alpha) = ac[/tex3]
mas não sei exatamente como

[tex3]xb \sen (\alpha + \angle BAD) = ac \iff \sen (\angle BDA) = \frac{ac}{xb}[/tex3]

[jvmago]

Nem precisa fazer isso tudo

A área de um triangulo que determina duas circunferencias congruas atraves de uma ceviana comum é dada por [tex3]S=a^2*\cot\(\frac{\theta}{2}\)[/tex3] onde [tex3]a[/tex3] é o comprimento da ceviana e [tex3]\theta[/tex3] o angulo do vertice que ela parte aí fica facinho!!

[tex3]S=10^2*\cot(45^\circ)=100[/tex3]

Fico devendo a demonstração desse teorema juntos com aquela dos raios

[Babi123]

obrigada jvmago!

[Auto Excluído (ID:12031)]

jvmago, quero ver essa demo ai hein!

[jvmago]

jvmago, quero ver essa demo ai hein!

Deixa só eu terminar o tópicos aqui e vou tirar um dia para postar tudo, estou com uns 8 aqui

[Auto Excluído (ID:12031)]

Se você souber o nome desse teorema eu posso fazer essa demo pra você

[jvmago]

Se você souber o nome desse teorema eu posso fazer essa demo pra você

Aqui no material não diz :/ de só explana para o mundo