Ensino Superior ⇒ Exercício 1.15 (b) do livro de Cálculo do Apostol vol. 1 Tópico resolvido

[marcos_aps]

Olá a todos. Estou tendo dificuldade neste simples exercício do livro de cálculo do Apostol vol. 1 (pág. 70, exercício 1, letra b):

Calcular [tex3]\int_{-1}^3 \![x + \frac{1}{2}]\mathrm\,{d}x[/tex3], sendo que a notação [tex3][x][/tex3] significa o maior inteiro [tex3]\leq x[/tex3].

Encontrei esta resposta (que está correta de acordo com o livro):

[tex3]\int_{-1}^3 \![x + \frac{1}{2}]\mathrm\,{d}x = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}} \![x]\mathrm\,{d}x = (-1)\frac{1}{2}+(1)(1)+(2)(1)+\frac{1}{2}3 = 4[/tex3]

mas eu simplesmente não entendi como foi que ele obteve o produto dos termos da soma [tex3](-1)\frac{1}{2}+(1)(1)+(2)(1)+\frac{1}{2}3[/tex3]. Alguém poderia me explicar?

Tentei resolver diretamente sem transformar [tex3]\int_{-1}^3 \![x + \frac{1}{2}]\mathrm\,{d}x[/tex3] em [tex3]\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{7}{2}} \![x]\mathrm\,{d}x[/tex3], mas o meu resultado não deu igual ao esperado (4). Resolvendo da forma direta também (com explicação) ajudaria.

Esta parte do livro está tratando somente de "step functions" e a fórmula para tal no livro é [tex3]\int_{a}^{b} \!f(x) \,\mathrm{d}x = \sum_{k=1}^{n} s_k\,.\,(x_k - x_{k-1})[/tex3], com [tex3]k = 1, 2, ..., n[/tex3].

[fabit]

O primeiro step pega [tex3]-1\leq x<-\frac{1}{2}[/tex3], pois a expressão [tex3]\left[x+\frac{1}{2}\right][/tex3] fica valendo [tex3]-1[/tex3].

O segundo step é [tex3]-\frac{1}{2}\leq x<\frac{1}{2}[/tex3], onde a expressão [tex3]\left[x+\frac{1}{2}\right][/tex3] fica nula.

O terceiro step é [tex3]\frac{1}{2}\leq x<\frac{3}{2}[/tex3], onde a expressão [tex3]\left[x+\frac{1}{2}\right][/tex3] fica valendo [tex3]1[/tex3].

O quarto step é [tex3]\frac{3}{2}\leq x<\frac{5}{2}[/tex3], onde a expressão [tex3]\left[x+\frac{1}{2}\right][/tex3] fica valendo [tex3]2[/tex3].

O quinto e último step é [tex3]\frac{5}{2}\leq x\leq3[/tex3], onde a expressão [tex3]\left[x+\frac{1}{2}\right][/tex3] fica valendo [tex3]3[/tex3].

A integral é [tex3]-1(-0,5-(-1))+0(0,5-(-0,5))+1(1,5-0,5)+2(2,5-1,5)+3(3-2,5)[/tex3]

[tex3]=-1(0,5)+0+1(1)+2(1)+3(0,5)=2(0,5)+3(1)=1+3=4[/tex3]