Ensino Médio ⇒ Diferença de conjuntos.

[Isa16]

Bom dia,

Eu não estou conseguindo provar algebricamente a seguinte afirmação:
(A-B)-C = (A-C)-B = (A-B)∩(A-C) = (A-C)-(B-C)

Obg desde já!

[muriloflo]

Imagine o conjunto A={1,2,3,4,5,6}, o conjunto B={1,2,3} e o conjunto C={3,4,5}.
As operações que irei resolver com antecedência são [tex3](A-B), (A-C),(B-C)[/tex3]
Você deve observar quais elementos são comuns a ambos os conjuntos para resolver essas subtrações. Em [tex3](A-B)[/tex3], os elementos em comum são 1,2 e 3. Dessa forma, o resultado será o elementos que sobrarem do conjunto que está sendo subtraído, nesse caso, os elementos que irão ficar são os do conjunto A. Logo:
[tex3](A-B)=[/tex3]{4,5,6}
Agora, seguindo o exemplo anterior:
[tex3](A-C)=[/tex3]{1,2,6}
[tex3](B-C)=[/tex3]{1,2}
Estamos prontos para resolver com mais facilidade o exercício.
1°)
[tex3](A-B)-C[/tex3]
O que há em comum entre {4,5,6} e {3,4,5}? 4 e 5. Logo, [tex3](A-B)-C=[/tex3]{6}
2°)
[tex3](A-C)-B[/tex3]
O que há em comum entre {1,2,6} e {1,2,3}? 1 e 2. Logo, [tex3](A-C)-B=[/tex3]{6}
3°)
[tex3](A-B)\cap (A-C)[/tex3]
Intersecção entre {4,5,6} e {1,2,6}. Sabemos que a intersecção entre conjuntos irá resultar nos elementos comuns entre os conjuntos. Nesse caso, o elemento 6. Logo, [tex3](A-B)\cap (A-C)=[/tex3]{6}
4°)
[tex3](A-C)-(B-C)[/tex3]
O que há em comum entre (1,2,6} e {1,2}? 1 e 2. Logo, [tex3](A-C)-(B-C)=[/tex3]{6}
Dessa forma, conclui-se que [tex3](A-B)-C = (A-C)-B = (A-B)\cap (A-C) = (A-C)-(B-C)[/tex3]

Espero ter ajudado e não ter complicado demais.