Pré-Vestibular ⇒ (UNEB) Geometria Analítica

[APSmed]

A reta 3x + 4y – 6 = 0 determine na circunferência x² + y² – 2x – 4y + 1 = 0 uma corda MN de comprimento igual?

a-raiz 3
b-2raiz2
c-3
d-2raiz3(RESPOSTA)
e-6

O modo que eu fiz foi substituindo uma na outra, mas ficou enorme, não tem outro jeito ?

[LucasPinafiMOD]

Sim.. fica bem grande mesmo desse jeito.. numa prova isso te ferraria =D
Observe a figura abaixo:

circ2.png (8.18 KiB) Exibido 5433 vezes

onde E é o centro da circunferência. Vamos descobrir o centro e o raio:
[tex3]x^2+y^2-2x-4y+1=0 \therefore (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4) + 1 - 1 -4=0 \\ (x-1)^2+(y-2)^2 = 4[/tex3]
Assim, o raio é R = 2 e o centro é o ponto (1, 2). A distância do centro à reta é:
[tex3]d= \frac{|3\cdot 1 -4 \cdot 2 -6 |}{\sqrt{3^2+4^2}}= \frac{|3+8-6|}{5}= \frac{5}{5}=1[/tex3]
Aplicando Pitágoras,
[tex3]AE^2=AC^2+EC^2 \therefore 4=1+AC^2 \therefore AC=\sqrt 3[/tex3]
Logo, o comprimento da corda é [tex3]2EC = 2\sqrt 3[/tex3].

[APSmed]

Exatamente o que eu queria ! Vlw!

[ThiagoNevez08]

Como eu resolveria essa mesma questão se o Comprimento MN fosse o Triplo ???

[alevini98]

Sim.. fica bem grande mesmo desse jeito.. numa prova isso te ferraria =D
Observe a figura abaixo:
circ2.png
onde E é o centro da circunferência. Vamos descobrir o centro e o raio:
[tex3]x^2+y^2-2x-4y+1=0 \therefore (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4) + 1 - 1 -4=0 \\ (x-1)^2+(y-2)^2 = 4[/tex3]
Assim, o raio é R = 2 e o centro é o ponto (1, 2). A distância do centro à reta é:
[tex3]d= \frac{|3\cdot 1 -4 \cdot 2 -6 |}{\sqrt{3^2+4^2}}= \frac{|3+8-6|}{5}= \frac{5}{5}=1[/tex3]
Aplicando Pitágoras,
[tex3]AE^2=AC^2+EC^2 \therefore 4=1+AC^2 \therefore AC=\sqrt 3[/tex3]
Logo, o comprimento da corda é [tex3]2EC = 2\sqrt 3[/tex3].

Interessante esse jeito que você fez , mas eu ainda acho mais simples transformar a equação geral da reta na equação simples e simplesmente substituir na equação da circunferência. Daria as coordenadas das duas extremidades da corda e era só calcular a distância.
Eu sei que é mais trabalhoso para alguns, mas como já estou acostumado a ir por esse método aí é rápido.

Como eu resolveria essa mesma questão se o Comprimento MN fosse o Triplo ???

Como assim?