Pré-Vestibular ⇒ (UNEB - 2015) Função Tópico resolvido

[APSmed]

Representando graficamente a função f(x)= -x² + 4x, consideram-se os pontos de abscissas iguais a -1, 0, 2, 3 e 5 e todos os segmentos de reta com extremos nesses pontos.

Escolhendo-se aleatoriamente um desses segmentos, a probabilidade de ele intersectar o eixo das abscissas é de

Resposta

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Resposta = 80 %

[csmarceloMOD]

[tex3]-x^2+4x=x(4-x)[/tex3]

Raízes: 0 e 4.

[tex3]0\leq x\leq4\Rightarrow f(x)\geq0\ (I)[/tex3]

[tex3]x\leq0 \vee x\geq4\Rightarrow f(x)\leq0\ (II)[/tex3]

Repare que os segmentos de reta intersectarão com o eixo das abscissas quando um dos extremos estiver acima do (ou no) eixo das abscissas [tex3](I)[/tex3] e o outro estiver abaixo (ou no) [tex3](II)[/tex3].

Total de possíveis segmentos: [tex3]C^5_2=10[/tex3].

Total de segmentos que intersectam a abscissa: 8.

[APSmed]

Não entendi ainda... Pra passar pelo eixo das abcissas, y deve ser negativo ou nulo?
Por que fizestes a combinação 5,2 ?

[csmarceloMOD]

O eixo das abcissas divide o plano em duas partes. A "de cima", onde [tex3]y>0[/tex3] e a "de baixo", onde [tex3]y<0[/tex3].

Um segmento de reta traçado no plano intersectará esse eixo apenas se os extremos estiverem em partes distintas. Se, por exemplo, os dois extremos estiverem na parte de cima, não há como cruzar o eixo das abscissas. Também pode ser o caso de um dos (ou os dois) extremos pertencerem ao eixo. No primeiro caso, a interseção será justamente o extremo do segmento localizado sobre o eixo; no segundo, todo o segmento.

Com isso em mente, analisamos a equação do segundo grau e identificamos para quais valores de [tex3]x[/tex3] teremos um [tex3]y[/tex3] positivo, e para quais valores de [tex3]x[/tex3] teremos um [tex3]y[/tex3] negativo. Dessa parte, eu presumo que você tem o conhecimento suficiente.

Então, se, por exemplo, [tex3]x=2[/tex3], teremos [tex3]y>0[/tex3] e, se [tex3]x=-1[/tex3], teremos [tex3]y<0[/tex3]. Logo, se traçarmos um segmento de reta tendo esses dois pontos como extremos, o mesmo intersectará com o eixo das abscissas.

Agora, para [tex3]x=2[/tex3] ou [tex3]x=3[/tex3] teremos [tex3]y>0[/tex3] e, portanto, se traçarmos um segmento de reta tendo esses dois pontos como extremos, não intersectará com o eixo das abscissas.

Assim:

Para [tex3]x\in\{-1,5\}[/tex3], temos [tex3]y<0[/tex3]
Para [tex3]x\in\{2,3\}[/tex3], temos [tex3]y>0[/tex3]
Para [tex3]x=0[/tex3], temos [tex3]y=0[/tex3]

Aí é aplicar o raciocínio de que um ponto deve estar abaixo do eixo das abscissas (ou exatamente no eixo) e o outro acima (ou exatamente no eixo).

Agora, com relação à combinação de 5, 2 a 2, essa é a quantidade total de segmentos possíveis, passando ou não pelo eixo das abscissas. Cinco pontos, combinados dois a dois, porque a ordem não importa. O segmento AB, por exemplo, equivale ao segmento BA.

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GRAFICO

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Mas nos pontos (3,3) (2,4) não passará também pelo eixo x ?

[csmarceloMOD]

Uma reta que passa por esses pontos sim, mas um segmento de reta que tem esses pontos como extremos não. Repare que o enunciado fala de segmentos de reta.

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[APSmed]

Verdade.
Fantásticas suas explicações, muito obrigado !