Ensino Superior ⇒ Curva de Agnesi - Parametrização Tópico resolvido

[Toplel94]

Uma haste, presa na origem do plano xy, ocupa a posição da reta que faz um ângulo [tex3]\theta[/tex3] radianos com eixo positivo dos [tex3]x[/tex3]. A haste intercepta a reta [tex3]y=2a[/tex3] no ponto A e a circunferência[tex3]x^2 +(y-a)^2=a^2[/tex3] no ponto B. Quando [tex3]\theta[/tex3] varia, o vértice P do triângulo APB descreve uma curva chamada curva de Agnesi.

Agnesi.png (11.45 KiB) Exibido 3242 vezes

a) Mostre que [tex3]\phi(\theta) =\left(2a \cotg(\theta),2a\sen^2(\theta)\right)[/tex3] é uma parametrização da curva de Agnesi.

b) Determine sua equação cartesiana.

Resposta

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b) [tex3]y=\dfrac{8a^3}{x^2+a^2}[/tex3]

[LucasPinafiMOD]

Fiz aqui, mas a b não bateu com a gabarito.. da uma conferida.
a) Veja que, sendo P(x,y), então y estará sobre a reta suporte que passa pelo ponto (0, y) e por B e x estará sobre a reta suporte que passa por (x, 0) e por A.
Sabemos que a haste faz um ângulo [tex3]\theta[/tex3] com o eixo positivo do eixo [tex3]x[/tex3] e que ela passa pelo ponto (0, 0). Logo, tal reta está bem definida. Sua equação é:

[tex3]y= x\cdot \tan \theta[/tex3]

Vamos calcular a coordenada y do ponto B:

[tex3]x^2+(y-a)^2 = a^2 \therefore x^2 +(x \cdot \tan \theta - a)^2 = a^2 \therefore x^2(1+\tan^2 \theta)= 2 a x \tan \theta[/tex3]

como [tex3]x\neq 0[/tex3], segue que:

[tex3]x = \frac{2a \tan \theta}{1+ \tan^2 \theta}[/tex3]

de modo que,

[tex3]y = x \cdot \tan \theta = \frac{2a \tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}= 2a \sin^2 \theta[/tex3]

Da mesma forma, temos que calculando a coordenada x do ponto A, temos que:

[tex3]y= 2a = x \tan \theta \therefore x = 2a \cot \theta[/tex3]

Portanto, segue que [tex3]r(t) = (2a \cot \theta , 2a \sin^2 \theta)[/tex3] é equação paramétrica da curva.
b) Para escrevermos as coordenadas cartesianas dessa curva, devemos relacionar [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3]. Para isso, basta fazermos:

[tex3]x = 2a \cot \theta = 2a \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \therefore x^2 = 4a^2 \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}[/tex3]

somando 4a² em ambos membros da equação acima,

[tex3]x^2 + 4a^2 = 4a^2 \left( \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}+1 \right) =\frac{4a^2}{\sin^2 \theta}[/tex3]

mas, temos que [tex3]y= 2a \sin^2 \theta \therefore \sin^2 \theta = \frac{y}{2a}[/tex3], de forma que:

[tex3]x^2 + 4a^2 = \frac{4a^2}{\dfrac{y}{2a}} \therefore y = \frac{8a^3}{x^2 + 4a^2}[/tex3]

se achar algum erro, por favor me avise. Vlw

[Toplel94]

Fiz aqui, mas a b não bateu com a gabarito.. da uma conferida.
a) Veja que, sendo P(x,y), então y estará sobre a reta suporte que passa pelo ponto (0, y) e por B e x estará sobre a reta suporte que passa por (x, 0) e por A.
Sabemos que a haste faz um ângulo [tex3]\theta[/tex3] com o eixo positivo do eixo [tex3]x[/tex3] e que ela passa pelo ponto (0, 0). Logo, tal reta está bem definida. Sua equação é:

[tex3]y= x\cdot \tan \theta[/tex3]

Vamos calcular a coordenada y do ponto B:

[tex3]x^2+(y-a)^2 = a^2 \therefore x^2 +(x \cdot \tan \theta - a)^2 = a^2 \therefore x^2(1+\tan^2 \theta)= 2 a x \tan \theta[/tex3]

como [tex3]x\neq 0[/tex3], segue que:

[tex3]x = \frac{2a \tan \theta}{1+ \tan^2 \theta}[/tex3]

de modo que,

[tex3]y = x \cdot \tan \theta = \frac{2a \tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}= 2a \sin^2 \theta[/tex3]

Da mesma forma, temos que calculando a coordenada x do ponto A, temos que:

[tex3]y= 2a = x \tan \theta \therefore x = 2a \cot \theta[/tex3]

Portanto, segue que [tex3]r(t) = (2a \cot \theta , 2a \sin^2 \theta)[/tex3] é equação paramétrica da curva.
b) Para escrevermos as coordenadas cartesianas dessa curva, devemos relacionar [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3]. Para isso, basta fazermos:

[tex3]x = 2a \cot \theta = 2a \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \therefore x^2 = 4a^2 \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}[/tex3]

somando 4a² em ambos membros da equação acima,

[tex3]x^2 + 4a^2 = 4a^2 \left( \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}+1 \right) =\frac{4a^2}{\sin^2 \theta}[/tex3]

mas, temos que [tex3]y= 2a \sin^2 \theta \therefore \sin^2 \theta = \frac{y}{2a}[/tex3], de forma que:

[tex3]x^2 + 4a^2 = \frac{4a^2}{\dfrac{y}{2a}} \therefore y = \frac{8a^3}{x^2 + 4a^2}[/tex3]

se achar algum erro, por favor me avise. Vlw

Estava revisando aqui e me gerou uma dúvida:
[tex3]x=\dfrac{2a \tan \theta}{1+\tan \theta}=\dfrac{2a \frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\sec^2 \theta}=\dfrac{2a \frac{\sin}{\cos}}{\frac{1}{cos^2 \theta}}=\dfrac{2a \sin \theta \cdot \cos^2 \theta}{\cos \theta}=2a \sin \theta \cdot \cos \theta[/tex3]. Por que não cheguei a cotangente? Esse x seria outra parametrização válida?

Acabei de verificar, a parametrização com [tex3]x= 2a \cot \theta[/tex3] não fecha na parametrizaçã, porém a dada acima conseguiu fazer igualdade bater quando substitui na circunferência.