Pré-Vestibular ⇒ (UEFS - 2014.2) Função Trigonométrica

[doraoliveira]

O domínio e a imagem da função y(x)= 3 [tex3]cos^{2}[/tex3](2x)+4 são, respectivamente,

Resposta

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Gab: -[tex3]\infty[/tex3] <x< [tex3]\infty[/tex3] e 4 [tex3]\leq[/tex3] y [tex3]\leq[/tex3] 7

Obrigada!

[Palmieri]

Tentei fazer uma definição de domínio e imagem aqui \/ , se quiser ler..

Resposta

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O domínio de uma função, é o conjunto de valores do eixo x que você pode colocar na função.

Ex : a função f(x) = x + 4 tem domínio [tex3]-\infty[/tex3] até [tex3]\infty[/tex3] , porque você pode colocar qualquer valor no x que a função te gerará uma imagem

porém, a função f(x) = [tex3]\frac{1}{x-1}[/tex3] por exemplo, o domínio dela é qualquer número real [tex3]\mathbb{R}[/tex3] exceto o 1 , porque se você colocar o 1 no lugar do x a função ficará [tex3]\frac{1}{0}[/tex3], e como não existe divisão por zero, a função dará erro.

enfim, funções do tipo frações e raízes , como do tipo f(x) = [tex3]\sqrt{x+1}[/tex3] você tem que prestar bastante atenção nos valores possíveis de x, no caso da função f(x) = [tex3]\sqrt{x+1}[/tex3], você sabe que não existe raíz de número negativo, logo, a equação dentro da raíz terá que ser positiva : (x+1) > 0 . x >-1 ,
logo , você poderá substituir qualquer valor de x contanto que seja maior que -1, pra valores menores que -1 a equação dentro da raíz se torna negativa e não gerará imagem, porque não existe número real de raíz negativa

Imagem é cada valor associado que um valor de x geral,
por exemplo

f(x) = x + 2

pra x = 5 , f(x) = 5+2 = 7 , logo , pra x = 5, a imagem da função será 7.

domínio da função :

Resposta

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A função é y(x)= 3 [tex3]cos^{2}(2x)[/tex3]+4

o que só está diferenciando nessa função é o [tex3]cos^{2}(2x)[/tex3] , vamos analisá-lo :

[tex3]cos^{2}(2x) = [cos(2x)]^{2}[/tex3] ,

a função cos(x) e os múltiplos de x , cos(2x), cos(3x), etc, o domínio delas será sempre -[tex3]\infty[/tex3] até [tex3]\infty[/tex3], ou seja, qualquer valor real.

Isso é uma maneira de dizer que você pode colocar qualquer valor de x ali que não dará "problema" na equação

[tex3]\pi[/tex3] , 5, -[tex3]\sqrt[]{2}[/tex3], -5 [tex3]\pi[/tex3] etc...

logo o domínio é qualquer x real, ou de -[tex3]\infty[/tex3] até [tex3]\infty[/tex3], ou -[tex3]\infty[/tex3] < x < [tex3]\infty[/tex3]

Imagem da função :

Resposta

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A imagem da função, nesse caso, tem um valor mínimo e um valor máximo.
Por que ?

porque a função cos(x) possui um valor máximo e um mínimo 1 e -1, respectivamente, tanto é que o valor da função cos(x) dá sempre algum número de -1 até 1.

eu disse o valor a função cos(x), mas qualquer função de cosseno que tenha qualquer coisa no parênteses,
o valor máximo dela vai dar 1 e o mínimo -1.
cos(2x) , cos(9x+7) , etc.


então, vamos analisar a imagem da função y(x)= 3 [tex3]cos^{2}(2x)[/tex3]+4 , a imagem atingirá seu valor máximo, quando a expressão [tex3][cos(2x)]^{2}[/tex3] atingir seu valor máximo, só que o valor máximo de [tex3][cos(2x)]^{2}[/tex3] existe pra um valor máximo de cos(2x), que é 1, então o valor máximo de [tex3][cos(2x)]^{2}[/tex3] será [tex3]1^{2}[/tex3]
que dá 1.

vamos ver a imagem pra esse valor máximo de x :

y(x) = 3 [tex3]cos^{2}(2x)[/tex3]+4

y(x) = 3.1+4

y(x) = 7 [tex3]\rightarrow[/tex3] valor máximo que essa função pode atingir


agora teremos que ter cuidado com o valor mínimo pra [tex3]cos^{2}(2x)[/tex3] ou melhor : [tex3][cos(2x)]^{2}[/tex3]

Concorda que por cos(2x) estar elevado ao quadrado , qualquer número que cos(2x) der, ele sairá positivo ?

por exemplo : se cos(2x) for -1 , a equação dará (-1)^2 = 1

se cos(2x) for [tex3]\frac{-1}{2}[/tex3] a equação dará [tex3]\frac{1}{4}[/tex3]

então só irá sair números positivos de [tex3][cos(2x)]^{2}[/tex3],

então, para a imagem ser o menor valor possível, [tex3][cos(2x)]^{2}[/tex3] tem que ser o menor valor positivo possível, porque dali só sairá valores positivos.

E o menor valor positivo é 0 , então vamos ver a imagem pra esse caso :

y(x) = 3 [tex3]cos^{2}(2x)[/tex3]+4

y(x) = 3.0 + 4

y(x) = 4

O menor valor da imagem é 4.

Logo, a imagem dessa função varia entre o valor mínimo e máximo, ou seja

Imagem : 4 [tex3]\leq[/tex3] y [tex3]\leq[/tex3] 7

Desculpa escrever muito, procure saber mais sobre domínio e imagem de uma função.
Qualquer coisa pergunta.
Abraços e bons estudos !!

[doraoliveira]

Nossa! Muuuuito obrigada pela atenção e prestatividade.
Sem dúvidas, jovem!

[Palmieri]

De nada doraoliveira, sucesso total