IME / ITA ⇒ (ITA 2002) Paridade de uma Função Tópico resolvido

[triplebig]

Sejam [tex3]a,b,c[/tex3] reais não-nulos e distintos, [tex3]c\,\gt\,0[/tex3]. Sendo par a função dada por

[tex3]f(x)\,=\,\frac{ax\,+\,b}{x\,+\,c}[/tex3] , [tex3]{-}c\,\lt\,x\,\lt\,c[/tex3] , então [tex3]f(x)[/tex3], para [tex3]{-}c\,\lt\,x\,\lt\,c[/tex3], é constante e igual à:

a) [tex3]a+b[/tex3]
b) [tex3]a+c[/tex3]
c) [tex3]c[/tex3]
d) [tex3]b[/tex3]
e) [tex3]a[/tex3]

Resposta

---

Letra e

[Auto Excluído (ID:276)]

[tex3]f(x)\,=\,\frac{ax\,+\,b}{x\,+\,c} = \frac{b - ax}{c - x}[/tex3]

[tex3]b = ac[/tex3]

ou seja ,

[tex3]f(x) = \frac{a ( x+c)}{x+c} = a[/tex3]

[claudiomarianosilveira]

É dado que a função é par , portanto [tex3]f(x)=f(-x)[/tex3]

Isso posto temos que:

[tex3]\frac{ax+b}{x+c}=\frac{-ax+b}{-x+c}[/tex3]

[tex3](ax+b)(-x+c)=(-ax+b)(x+c)[/tex3]

[tex3]{-ax^{2}+axc-bx+bc}={-ax^{2}-axc+bx+bc}[/tex3]

[tex3]{-ax^{2}+ax^{2}+axc+axc-bx-bx+bc-bc}=0[/tex3]

[tex3]2axc-2bx=0[/tex3]

[tex3]2x(ac-b)=0[/tex3]

[tex3]ac-b=0[/tex3]

[tex3]ac=b[/tex3]

Substituindo na função:

[tex3]f(x)=\frac{ax+b}{x+c}[/tex3]

fica:

[tex3]f(x)=\frac{ax+ac}{x+c}[/tex3]

[tex3]f(x)=\frac{a(x+c)}{x+c}[/tex3]

[tex3]f(x)=a[/tex3]

Letra e