Pré-Vestibular ⇒ (UnB) Divisores Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Sejam [tex3]1\ <\ P_1\ < P_2,\ ...,\ <\ P_{\text{n}}[/tex3] os [tex3]\text{n}[/tex3] primeiros números primos positivos ([tex3]\text{n}[/tex3] um número natural [tex3]\geq 5[/tex3]) e [tex3]\alpha=P_1.P_2.P_3.\ ...\ . P_{\text{n}}[/tex3]. O número total de divisores positivos de [tex3]\alpha[/tex3] é:

a) [tex3]\text{n}[/tex3]
b) [tex3]\text{n}^{\text{n}}[/tex3]
c) [tex3]2^{\text{n}}[/tex3]
d) [tex3]\text{n}^2[/tex3]
e) [tex3](2\text{n})^2[/tex3]

[Ittalo25MOD]

O número de divisores positivos é dado por:

[tex3](1+1)\cdot (1+1) \cdot (1+1) \cdot (1+1) \cdot ....[/tex3]

n vezes

Então:

[tex3](1+1)^n = 2^n[/tex3]

[fabit]

Alguns lugares chamam isso de Lei do Expoente:

A quantidade [tex3]k[/tex3] de divisores naturais é o produtório dos sucessores dos expoentes da fatoração de [tex3]\alpha[/tex3].

[tex3]\alpha={P_1}^{e_1}\times{P_2}^{e_2}\times\cdots\times{P_n}^{e_n}\Rightarrow k=\prod_{i=1}^n(1+e_i)[/tex3]

Como os [tex3]e_i[/tex3] são todos unitários, fica [tex3]2^n[/tex3]
Letra c