Ensino Médio ⇒ Conjunto das Partes Tópico resolvido

[mlcosta]

Se [tex3]n[P(P(A))] = 2^{4^{(n - 2)}}[/tex3], (2 elevado a 4 elevado a n - 2), sendo [tex3]n[/tex3] o número de elementos de [tex3]A[/tex3] e [tex3]P(A)[/tex3] o seu conjunto das partes, pode-se afirmar que a quantidade de subconjuntos de [tex3]A[/tex3] corresponde a

a) 2
b) 4
c) 8
d) 16
e) 32

[mlcosta]

Olá,
Postei essa questão porque tentei resolvê-la algumas vezes e não consegui, mas ela me deixou intrigado porque tinha certeza que estava muito perto da resolução. Finalmente consegui, e como vi que algumas pessoas também tentaram, vou mostrar a resolução.

Seja um conjunto [tex3]A[/tex3] com [tex3]n[/tex3] elementos.

[tex3]n(A) = n[/tex3]
[tex3]n(P(A)) = 2^{n}[/tex3]
[tex3]n(P(P(A))) = 2^{2^{n}}[/tex3]
[tex3]n(P(P(P(A)))) = 2^{2^{2^{n}}}[/tex3]
... e assim sucessivamente.

Veja que a quantidade de bases "2" é igual a quantidade de "P", e foi justamente o que eu estava tentando deduzir.

Em nosso caso, temos então [tex3]n(P(P(A))) = 2^{2^{n}}[/tex3]. Vejamos então:

[tex3]n(P(P(A))) = 2^{4^{n - 2}}[/tex3]
[tex3]2^{2^{n}} = 2^{4^{n - 2}}[/tex3]
[tex3]2^{n} = 4^{n - 2}[/tex3]
[tex3]2^{n} = 2^{2n - 4}[/tex3]
[tex3]n = 2n - 4[/tex3]
[tex3]n = 4[/tex3]

A questão quer [tex3]n(P(A))[/tex3], portanto:

[tex3]n(P(A)) = 2^{4} = 16 \rightarrow[/tex3] Que é justamente o gabarito da questão.