IME / ITA ⇒ (ESPCEX - 2010) Logaritmo Tópico resolvido

[CadeteGirotto]

Sendo [tex3]x=\sqrt[6]{\frac{a^{2}}{b}}[/tex3] com log [tex3]2^{a}=4[/tex3] e log [tex3]2^{b}=5[/tex3], em que [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são números reais não nulos e diferentes de [tex3]1[/tex3] , então log [tex3]x^{2}[/tex3] é igual a :

a) 16
b) 8
c) 4
d) 2

[VALDECIRTOZZI]

Veja, creio que você digitou a expressão de forma errada. Ela na realidade é:

Sendo [tex3]\sqrt[6]{\frac{a^2}{b}}[/tex3], com [tex3]\log_2a=4[/tex3] e [tex3]\log_2b=5[/tex3], em que [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são números reais não nulos e diferentes de [tex3]1[/tex3], então [tex3]\log_x 2[/tex3] é igual a

[tex3]\log_2a=4 \Longleftrightarrow a=2^4=16[/tex3]
[tex3]\log_2 b=5 \Longleftrightarrow b=2^5=32[/tex3]

Temos que:

[tex3]x=\sqrt[6]{\frac{a^2}{b}}[/tex3]
[tex3]x=\sqrt[6]{\frac{16^2}{32}}=\sqrt[6]8=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt2=2^{\frac{1}{2}}[/tex3]

Então:

[tex3]\log_x2=\log_{2^{\frac{1}{2}}}2[/tex3]

[tex3]\log_{2^{\frac{1}{2}}}2=y[/tex3]
[tex3]\left(2^{\frac{1}{2}}\right)^y=2^1[/tex3]
[tex3]\frac{y}{2}=1[/tex3]
[tex3]y=2[/tex3]

Espero ter ajudado!