Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória: Combinações Simples e Poliedros Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

Se de um dodecaedro regular convexo cuja aresta mede 6cm destarcarmos tetraedros com arestas laterais medindo 2cm, e tendo os vértices opostos à base coincidindo com os vértices do dodecaedro,resultará um sólido cujo número total de diagonais de faces será:

a) 324
b) 660
c) 240
d) 420
e) 480

[cajuADMIN]

Olá José,

Sabemos que um dodecaedro tem 12 faces, 30 arestas e 20 vértices.

Veja como é um dodecaedro desenhado:

A85.png (24.87 KiB) Exibido 6339 vezes

Os cortes para retirar os tetraedros serão feitos nos pontos mostrados abaixo (vou mostrar somente para uma face, pois o desenho é difícil de fazer).

A86.png (23.06 KiB) Exibido 6338 vezes

Após o corte, teremos a figura abaixo:

A87.png (22.04 KiB) Exibido 6337 vezes

Para calcular o número de diagonais, precisamos saber quantas faces existem neste poliedro.

Note que cada vértice do dodecaedro vai virar uma face triangular. Portanto, além das 12 faces de decágonos teremos mais 20 faces triangulares.

Cada face de decágono possui [tex3]C_{10}^2-10 = 35[/tex3] diagonais. Portanto, nas 12 faces de decágonos teremos [tex3]35 \cdot 12 = 420[/tex3] diagonais.

Nas faces triangulares não conseguimos nenhuma diagonal de face.

Portanto a resposta final é 30.

Atenciosamente
Prof. Caju
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