IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1978) Geometria Plana Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

[tex3]ABC[/tex3] é um triângulo retângulo em [tex3]A[/tex3], de hipotenusa igual a [tex3]8\ \text{cm}[/tex3]. O ângulo [tex3]C[/tex3] mede [tex3]30^\circ[/tex3]. Ligando o vértice [tex3]C[/tex3] a um ponto [tex3]M[/tex3] do cateto oposto [tex3]\overline{AB}[/tex3] , e sendo [tex3]P[/tex3] o pé da perpendicular baixada de [tex3]M[/tex3] sobre a hipotenusa [tex3]\overline{CB}[/tex3], obtém-se os triângulos [tex3]AMC[/tex3] e [tex3]MBP[/tex3] de mesma área. O valor de [tex3]MB[/tex3] é:

(A) [tex3]3(\sqrt2+1)\ \text{cm}[/tex3].
(B) [tex3](\sqrt2+1)\ \text{cm}[/tex3].
(C) [tex3]3\sqrt5\ \text{cm}[/tex3].
(D) [tex3]8(\sqrt2-1)\ \text{cm}[/tex3].
(E) [tex3]2\sqrt3\ \text{cm}[/tex3].

[Ittalo25MOD]

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Triângulo ABC:

[tex3]sen(60^o) = \frac{AC}{8}\rightarrow AC = 4\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]cos(60^o) = \frac{AB}{8}\rightarrow AB = 4[/tex3]

Triângulo BMP:

[tex3]MB = x[/tex3]
[tex3]sen(60^o) = \frac{MP}{x}\rightarrow MP = \frac{x\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]cos(60^o) = \frac{BP}{x}\rightarrow BP = \frac{x}{2}[/tex3]

Relação de área entre os triângulos:

[tex3]\frac{AC . AM }{2} = \frac{PB.PM}{2}[/tex3]

[tex3]4\sqrt{3}\cdot (4-x) = \frac{x}{2}\cdot \frac{x\sqrt{3}}{2}[/tex3]

[tex3]x = 8\cdot (\sqrt{2}-1)_{cm}[/tex3]