Pré-Vestibular ⇒ (UFPB - 1993) Equação Exponencial

[claudiomarianosilveira]

Sendo [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] raízes distintas da equação [tex3]2\cdot 4^x + 4 = 9\cdot 2^x,[/tex3] calcular o valor de [tex3]a^6 + b^6.[/tex3]

Solução:

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Podemos escrever:

• [tex3]4x = (2^2)^x = (2^x)^2.[/tex3]

Fazendo [tex3]2^x = y,[/tex3] a equação dada fica:

• [tex3]2y^2 + 4 = 9y \Longrightarrow 2y^2 - 9y + 4 = 0 \Longrightarrow y = 4[/tex3] ou [tex3]y = \frac{1}{2}.[/tex3]
  
  [tex3]2^x = 4\Longrightarrow x=2[/tex3] ou [tex3]2^x = \frac{1}{2}\Longrightarrow 2^x =2^{-1} \Longrightarrow x=-1.[/tex3]

Portanto, como as raízes são denominadas de [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] no problema, vem que [tex3]a = 2[/tex3] e [tex3]b = -1.[/tex3]

Daí,

• [tex3]a^6 + b^6 = 2^6 + (-1)^6 = 64 + 1 = 65[/tex3]

Resposta: [tex3]65[/tex3]

[AnthonyC]

Já solucionado pelo autor.