Ensino Superior ⇒ O expoente de um número determina sua dimensão? Tópico resolvido

[Ashwagandha]

Sou do ensino médio e divagando notei isso:

Se 1 simboliza a unidade, o ponto, os números inteiros podem ser vistos como um conjunto de pontos ou seja uma linha(segmento de reta), por exemplo 5 descreve um segmento de tamanho 5,

repare que um número(com exceção do 1) de grau 1 esta na primeira dimensão,ou seja uma linha.

se 5²,descreve um quadrado de lado 5,
e 5³, um cubo de aresta 5,

então o expoente faz o número transcender uma dimensão?

5^4 descreve um hipercubo de (não sei o nome) tamanho 5?
qual seria o nome da "coisa" que 5^30 representa?
se n^0=1 significa que o ponto é adimensional?

Eu sei que não é simples assim mas faz algum sentido isso? ou não?

[csmarceloMOD]

Se 1 simboliza a unidade, o ponto, os números inteiros podem ser vistos como um conjunto de pontos ou seja uma linha(segmento de reta), por exemplo 5 descreve um segmento de tamanho 5

Para haver coerência, de duas uma:

1) Se 1 simboliza um ponto, 5 simbolizaria 5 pontos, ou seja, inteiros positivos representando quantidade (de pontos).

2) Se 5 representa um segmento de 5 u.m. de comprimento, então 1 representaria um segmento de 1 u.m de comprimento, ou seja, inteiros positivos representando o comprimento de um segmento de reta. Nesse sentido, o ponto seria igual a zero (0 u.m. de comprimento).

o ponto é adimensional?

Sim. Na Geometria, o ponto é adimensional.

se [tex3]5^2[/tex3], descreve um quadrado de lado 5,
e [tex3]5^3[/tex3], um cubo de aresta 5,

Do que estamos falando exatamente? De onde vieram essas associações?

[Ashwagandha]

Basta adotar o ponto como u.m de comprimento,como um segmento de reta é um conjunto de pontos,temos inteiros positivos representando a quantidade de u.m de comprimento de um segmento de reta.

A ideia de ponto pressupõe unidade,

Sim. Na Geometria, o ponto é adimensional.

Se um plano é um conjunto de pontos,como o plano é dimensional?,ou uma reta.

Do que estamos falando exatamente?

Não sei na verdade.

De onde vieram essas associações?

Segue do raciocínios anteriores
Expoente 0 = zero dimensões = ponto, n^0=1
Expoente 1 = uma dimensão = reta, n^1=n
Expoente 2 = duas dimensões = área, quadrado de lado n, sua área é n²
Expoente 3 = três dimensões = volume, cubo de aresta n, seu volume é n³
(com as devidas restrições)

Obrigado pela atenção.

[csmarceloMOD]

Basta adotar o ponto como u.m de comprimento

Mas aí você já está ferindo um dos pilares da Geometria: o ponto é adimensisonal. Não há como medir um ponto, ele não ocupa espaço, ele é apenas um referencial. Um ponto apenas determina um local específico no espaço.

Mas, se mesmo assim você insistisse em usar o ponto como unidade de medida, qualquer segmento de reta teria comprimento infinito, visto que ele contém uma infinidade de pontos.

A ideia de ponto pressupõe unidade.

Sim, mas unidade unicamente quantitativa, ou seja, um ponto, dois pontos, três pontos, etc.

Se um plano é um conjunto de pontos,como o plano é dimensional?

Da mesma forma que um segmento de reta ou qualquer outro ente mensurável.

Nós somos (possuímos) um conjunto de habilidades cognitivas, que não podem ser medidas fisicamente, mas isso não quer dizer que herdamos todas as suas propriedades. O ser humano possui altura, volume, etc.

Segue do raciocínios anteriores
Expoente 0 = zero dimensões = ponto, n^0=1
Expoente 1 = uma dimensão = reta, n^1=n
Expoente 2 = duas dimensões = área, quadrado de lado n, sua área é n²
Expoente 3 = três dimensões = volume, cubo de aresta n, seu volume é n³
(com as devidas restrições)

Agora eu entendi a sua pergunta.

Bem, a exponenciação é apenas um recurso matemático para resumir a escrita. Em um dado momento da história alguém viu que dava para simplificar a escrita de multiplicações sucessivas de números iguais.

Você citou exemplos de figuras geométricas regulares e, assim, pelas definições dos cálculos de comprimento, área e volume, você pôde se utilizar desse recurso para simplificar as expressões que determinam seus valores.

Mas e se ao invés de um quadrado fosse um retângulo de comprimento 6 e largura 4? Sua área seria dada pela expressão [tex3]6^1\times4^1[/tex3]. O que dizer desse caso?

E sobre o hipercubo, nunca o estudei. Então não saberia dizer se existe um hipercubo regular de 4 dimensões e se o seu volume(?) seria dado por algum número elevado à quarta potência.