Olimpíadas ⇒ EUA Tópico resolvido

[victoria]

(EUA)- Um ponto P pertence ao plano de um dado quadrado de lado L. Os vértices do quadrado são A, B, C e D, tomados no sentido anti-horário. Sejam u, v e w as distâncias de P a A, B, C. Qual a maior distância que P pode estar de D se [tex3]u^{2} + v^{2}[/tex3]= [tex3]w^{2}[/tex3]?




Resposta:

Resposta

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2+ [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

[Ittalo25MOD]

Teorema de Marlen:

[tex3]PA^2+PC^2 = PB^2+PD^2[/tex3]

Usando o que foi dado:

[tex3]PA^2+PC^2 = PB^2+PD^2[/tex3]

[tex3]PA^2+PA^2+PB^2 = PB^2+PD^2[/tex3]

[tex3]PA^2 = \frac{PD^2}{2}[/tex3]

Lei dos cossenos no triângulo APD:

[tex3]AD^2 = PA^2+PD^2 - 2\cdot PA \cdot PD \cdot cos(a)[/tex3]

[tex3]L^2 = \frac{PD^2}{2}+PD^2 - 2\cdot \frac{PD\sqrt{2}}{2} \cdot PD \cdot cos(a)[/tex3]

[tex3]2L^2 = 3PD^2 - 2PD^2\cdot \sqrt{2} \cdot cos(a)[/tex3]

[tex3]PD^2 = \frac{2L^2}{3-2\sqrt{2}\cdot cos(a)}[/tex3]

Obviamente isso vai ser máximo quando [tex3]cos(a) = 1[/tex3], segue:

[tex3]PD^2 = \frac{2L^2}{3-2\sqrt{2}}[/tex3]

[tex3]PD = L\cdot \sqrt{6+4\sqrt{2}}[/tex3]

Fazendo o radical duplo:

[tex3]PD = L\cdot (2+\sqrt{2})[/tex3]