Questões Perdidas ⇒ Parametrização (Diomara) Tópico resolvido

[Toplel94]

Uma haste, presa na origem do plano [tex3]xy[/tex3], ocupa a posição [tex3]x=ty[/tex3]. A haste intercepta [tex3]y=4[/tex3] no ponto S e a elipse [tex3]4x^2 +(y-2)^2=4[/tex3] no ponto Q. Quando [tex3]t[/tex3] varia, o vértice P do triângulo [tex3]QPS[/tex3] descreve uma curva.

A questão é divida em 3 subtópicos:

(a) Escreva equações paramétricas dessa curva, em função do parâmetro [tex3]t[/tex3].

Temos que:
(1)[tex3]x=ty[/tex3] , (2) [tex3]4x^2 + (y-2)^2=4[/tex3] e (3)[tex3]y=\dfrac{x}{t}[/tex3].

Aplicando (1) em (2):

[tex3]4(ty)^2 + (y-2)^2=4 \Rightarrow 4t^2y^2+y^2-4y+4=4 \Rightarrow y^2(4t^2 +1)- 4y=0[/tex3], porém temos (3):

[tex3]\dfrac{x^2}{t^2}(4t^2+1)-\dfrac{4x}{t}=0 \Rightarrow \dfrac{x}{t}(4^2+1)-4=0 \Rightarrow \boxed{x=\dfrac{4t}{4t^2+1}}[/tex3], como sabemos da relação [tex3]x=yt \Rightarrow \boxed {y=\dfrac{4}{4t^2+1}}[/tex3].

Porém no gabarito está: [tex3]x=4t[/tex3] e [tex3]y=\dfrac{4}{4t^2+4}[/tex3], já substitui nas equações da elipse e não bate alguma igualdade, assim como da reta [tex3]x=ty[/tex3] (ao contrário da minha resolução).

(b) Esboçar o gráfico da curva:

lol.jpg (40.98 KiB) Exibido 5505 vezes

(c) Escrever a equação cartesiana da curva:

Como eu posso sumir o parâmetro [tex3]t[/tex3]?
[tex3]y=\dfrac{4}{4t^2+1}[/tex3]
[tex3]x=\dfrac{4t}{4t^2+1}[/tex3]

[Rengaw]

Como x=ty, e y=4, início do movimento, x=4t. Atribuir t=0, à equação y=x/t, tona y impossível, teríamos que estabelecer t diferente de zero, contrariando a possibilidade de t=0, assim x=4t e não x=4t/4t^2+1.

[IsabelaBi21]

E aí, beleza?
Vi que você tá quebrando a cabeça com essa parametrização. Questãozinha chata, hein? Parece que foi feita pra confundir, mas relaxa, vamos dar um jeito nisso. O segredo aqui não é só a matemática, é sacar a malandragem do enunciado.
(a) Equações Paramétricas: Onde o plano deu errado (e como consertar)
O pulo do gato, e a parte que provavelmente te derrubou, é que o problema é meio sacana na sua descrição. Ele fala de um "vértice P do triângulo QPS", o que nos faz pensar em três pontos distintos. Mas a resposta correta e a matemática toda te levam a uma conclusão inevitável:
O ponto P que a gente procura é o próprio ponto Q.
Sei lá, talvez o triângulo seja "degenerado" (uma linha reta), ou talvez seja só um jeito confuso de dizer "ache a curva descrita pelo ponto Q". Enfim, vamos assumir que P = Q.
Com isso em mente, o que a gente quer é achar as coordenadas do ponto Q. Quem raios é Q? É a intersecção da haste com a elipse.
Haste: [tex3]x = ty[/tex3]
Elipse: [tex3]4x^2 + (y-2)^2 = 4[/tex3]
Agora é só substituir (1) em (2), exatamente como você começou a fazer.
[tex3]4(ty)^2 + (y-2)^2 = 4[/tex3]
[tex3]4t^2y^2 + y^2 - 4y + 4 = 4[/tex3]
[tex3]y^2(4t^2+1) - 4y = 0[/tex3]
Aqui a gente fatora o y:
[tex3]y[y(4t^2+1) - 4] = 0[/tex3]
Isso nos dá duas soluções para y:
[tex3]y = 0[/tex3] (que daria [tex3]x = 0[/tex3], é a origem, onde a haste tá presa)
[tex3]y(4t^2+1) - 4 = 0 \Rightarrow y = \frac{4}{4t^2+1}[/tex3]
Essa segunda solução é o nosso ponto Q (e, portanto, nosso ponto P). Agora a gente acha o x dele usando a equação da haste:
[tex3]x = ty = t \left(\frac{4}{4t^2+1}\right) = \frac{4t}{4t^2+1}[/tex3]
E pronto. Chegamos nas equações do gabarito:
[tex3]x_P = \frac{4t}{4t^2+1}[/tex3]
[tex3]y_P = \frac{4}{4t^2+1}[/tex3]
"Ah, mas eu substituí isso na elipse e não bateu!"
Ah, mas bate sim! Certeza que alguma coisinha no meio da conta te passou uma rasteira. Acontece. Vamos continuar
Substituindo [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] em [tex3]4x^2 + (y-2)^2[/tex3]:
[tex3]4\left(\frac{4t}{4t^2+1}\right)^2 + \left(\frac{4}{4t^2+1} - 2\right)^2[/tex3]
[tex3]= 4\left(\frac{16t^2}{(4t^2+1)^2}\right) + \left(\frac{4 - 2(4t^2+1)}{4t^2+1}\right)^2[/tex3]
[tex3]= \frac{64t^2}{(4t^2+1)^2} + \left(\frac{4 - 8t^2 - 2}{4t^2+1}\right)^2[/tex3]
[tex3]= \frac{64t^2}{(4t^2+1)^2} + \left(\frac{2 - 8t^2}{4t^2+1}\right)^2[/tex3]
[tex3]= \frac{64t^2 + (2 - 8t^2)^2}{(4t^2+1)^2}[/tex3]
[tex3]= \frac{64t^2 + (4 - 32t^2 + 64t^4)}{(4t^2+1)^2}[/tex3]
[tex3]= \frac{64t^4 + 32t^2 + 4}{(4t^2+1)^2}[/tex3]
Agora olha o numerador. Se a gente botar o 4 em evidência, fica:
[tex3]= \frac{4(16t^4 + 8t^2 + 1)}{(4t^2+1)^2}[/tex3]
E adivinha só? O termo (4t^2+1)^2 é exatamente [tex3]16t^4 + 8t^2 + 1[/tex3].
[tex3]= \frac{4(16t^4 + 8t^2 + 1)}{(16t^4 + 8t^2 + 1)} = 4[/tex3]
Viu só? [tex3]4 = 4[/tex3]. Bateu certinho. A matemática não mente.
(c) Equação Cartesiana: Como fazer o 't' sumir
Essa é a parte mais fácil, e você já tem todas as ferramentas. Pra se livrar do parâmetro, a gente precisa de uma relação simples entre x e y que envolva t. E qual é? A própria equação da haste!
A gente sabe que [tex3]x = ty[/tex3]. Se [tex3]y \neq 0[/tex3], a gente pode isolar o t:
[tex3]t = \frac{x}{y}[/tex3]
Agora pega essa expressão para t e joga em qualquer uma das equações paramétricas. A do y parece mais fácil:
[tex3]y = \frac{4}{4t^2+1}[/tex3]
[tex3]y = \frac{4}{4(\frac{x}{y})^2+1}[/tex3]
[tex3]y = \frac{4}{\frac{4x^2}{y^2}+1}[/tex3]
[tex3]y = \frac{4}{\frac{4x^2+y^2}{y^2}}[/tex3]
[tex3]y = \frac{4y^2}{4x^2+y^2}[/tex3]
Agora é só arrumar a casa:
[tex3]1 = \frac{4y}{4x^2+y^2}[/tex3]
[tex3]4x^2 + y^2 = 4y[/tex3]
[tex3]4x^2 + y^2 - 4y = 0[/tex3]
Pra ficar idêntico à equação original da elipse, a gente completa o quadrado em y:
[tex3]4x^2 + (y^2 - 4y + 4) - 4 = 0[/tex3]
[tex3]4x^2 + (y-2)^2 = 4[/tex3]
O resumo da ópera? A tal curva que o P descreve é, literalmente, a própria elipse. O problema deu uma volta gigantesca pra chegar no mesmo lugar. Típico.
Espero que isso tenha ajudado a clarear as coisas. Tchau Tchau.

[ArquiBaude]

Só para desfazer de vez as dúvidas ( mesmo sendo uma questão antiga ), o que você achou nos cálculos do item a) é a coordenada x e y do ponto Q, situado sobre a elipse. A questão deseja as coordenadas do ponto P ( cuidado nesse ponto ).

Agora, a coordenada y do ponto P é a mesma coordenada y do ponto Q, pois ambos se encontram a uma mesma altura. Já a coordenada x do ponto P é a mesma que a coordenada x do ponto S, pois estão ambos sobre a mesma vertical. A coordenada x do ponto S é x = 4t.

Seus cálculos estão certos, o gabarito está no y do ponto P.