Olimpíadas ⇒ EUA/2008

[Agash]

Definimos [tex3]n!=n.(n-1)(n-2) \dots 3.2.1[/tex3].(Isto é, o produto dos números naturais desde [tex3]1[/tex3] até [tex3]n[/tex3]). Para cada natural [tex3]n[/tex3], seja [tex3]a_n=\frac{(n+9)!}{(n-1)!}[/tex3].Se [tex3]k[/tex3] é o menor número natural para o qual o último algarismo não nulo da direita de [tex3]a_k[/tex3] é ímpar, então o último algarismo da direita diferente de zero é [tex3]a_k[/tex3] é igual a:
a)[tex3]1[/tex3]
b)[tex3]3[/tex3]
c)[tex3]5[/tex3]
d)[tex3]7[/tex3]
e)[tex3]9[/tex3]

Desde já, muito obrigado!

[Ittalo25MOD]

Será que houve algum erro de digitação? Acredito que esse número nem existe

[tex3]a_k = \frac{(k+9)!}{(k-1)!} = k \cdot (k+1)\cdot(k+2)\cdot (k+3)\cdot ... \cdot (k+9)[/tex3]

Multiplicação de 10 números consecutivos, obviamente 5 pares e 5 ímpares.

Para que o último algarismo não nulo da direita de [tex3]a_k[/tex3] seja ímpar, é preciso que a ´potência de 5 da sua decomposição em fatores primos seja maior ou igual á potência de 2.

Nos 10 números consecutivos são 5 pares e no máximo 2 múltiplos de 5, ou seja:

[tex3]a_k = 2^{5+x}\cdot 5^{2+y}\cdot....[/tex3]

[tex3]a_k =100\cdot 2^{3+x}\cdot 5^{y}\cdot....[/tex3]

Bem interessante isso. Não sei terminar a prova mas me parece bem razoável que a potência de 2 sempre vai ser maior que a de 5.

[undefinied3]

Creio que o enunciado se refere ao primeiro algarismo que não seja zero, para desconsiderar esse fato.
"para o qual o último algarismo não nulo da direita de [tex3]a_k[/tex3] é ímpar"

[Ittalo25MOD]

Eu entendi, é por isso que a potência de 5 tem que ser maior ou igual a potência de 2, o que acredito ser impossível nessas condições.

Dá pra testar uns valores de k aqui:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5 ... B(k-1)!%7D

[pgavp2012]

Pensei da seguinte forma , até chegar na resposta, que parece ser a mais óbvia, e eu chutaria se n conseguisse pensar ...

Temos o produto de 10 números consecutivos, e como a ideia inicial ali postada, 5 pares e 5 ímpares. Pelo menos 5 são múltiplos de 2 e teremos dois múltiplos de 5... ,Partindo do principio de que esse produto terá pelo menos um múltiplo de 4,8, teremos no mínimo 2+3+3= 8 fatores de dois, e inicialmente apenas 2 fatores 5.

Mas se pensarmos e substituirmos k por um número da forma : [tex3]5^{n}[/tex3], teremos que os números que se tornaram pares serão da forma :

[tex3]5^{n}+1[/tex3]
[tex3]5^{n}+3[/tex3]
[tex3]5^{n}+5[/tex3]
[tex3]5^{n}+7[/tex3] e ;
[tex3]5^{n}+9[/tex3]

Se montarmos um sistema de congruências com esses termos no módulo [tex3]2^{n}[/tex3] , teremos a prova que todas essas potências nunca dividirão um número maior que [tex3]2^{3}[/tex3], e assim teremos um número no qual o primeiro algarismo após os "zeros" será 5...

Carteando de outro modo, podemos observar facilmente que caso esse número exista(contando que n fizéssemos nenhuma conta) , que o único produto fixo cujo número pode ter infinitas variantes, é a terminação em 5 .. Creio que seja a resolução desse modo