Questões Perdidas ⇒ Arranjo com dois tipos de repetição. Tópico resolvido

[Ashwagandha]

Uma urna contêm 12 bolas sendo:
6 pretas
4 brancas
2 vermelhas

Uma bola é extraída,observada a sua cor e reposta na urna, quantas sequências de 5 bolas podemos formar?

tem a questão de haver cores iguais e bolas repostas, como resolver?

12^5/6!4!2! talvez?

[ruanchaves]

P P P P P P B B B B V V

Segue abaixo as composições possíveis seguida do número de permutações possíveis dessas composições.

DE UMA SÓ COR
cinco pretas - P P P P P ( 5! / 5! = 1 )

DE DUAS CORES
PRETO E BRANCO
4 pretas, 1 branca - P P P P B ( 5!/4! = 5 )

3 pretas, 2 brancas - P P P B B ( 5!/3!2! = 10 )

2 pretas, 3 brancas - P P B B B ( 5!/3!2! = 10 )

1 preta, 4 brancas - P B B B B ( 5!/4! = 5 )

PRETO E VERMELHO
4 pretas, 1 vermelha - P P P P V ( 5!/4! = 5 )

3 pretas, 2 vermelhas - P P P V V ( 5!/3!2! = 10 )

BRANCO E VERMELHO
3 brancas, 2 vermelhas - B B B V V ( 5!/3!2! = 10 )
4 brancas, 1 vermelha - B B B B V ( 5!/4! = 5 )


DE TRÊS CORES
3 pretas, 1 branca e 1 vermelha - P P P B V ( 5!/3! = 40 )
2 pretas, 2 brancas e 1 vermelha - P P B B V ( 5!/2!2! = 30 )
2 pretas, 1 branca e 2 vermelhas - P P B V V ( 5!/2!2! = 30 )
1 preta, 2 brancas e 2 vermelhas - P B B V V ( 5!/2!2! = 30 )
1 preta, 3 brancas e 1 vermelha - P B B B V ( 5!/3! = 40 )

Agora é só somar as permutações com repetição de cada caso.

1 + 2*( 5 + 10 + 10 + 5) + 3*(15 + 20 + 15 ) + 20 = 231

Observe que ( 5 + 10 + 10 + 5) e (15 + 20 + 15 ) são trechos de duas linhas consecutivas no triângulo de Pascal.

[IsabelaBi21]

Bora la resolver essa treta. Você chegou perto mas errou... Acontece! O importante é que pra resolver isso é mais simples do que parece.
A grande pegadinha, a isca que quase te pegou, tá na palavra REPOSTA. Quando a bola é reposta na urna, a situação vira tipo o "Dia da Marmota" da matemática: cada extração é um novo começo, com as mesmas 12 bolas te encarando lá de dentro. A urna "reseta" e as probabilidades não mudam.
Vamos pensar no passo a passo para formar a sequência de 5 bolas:
Para a 1 posição da sequencia: Você tem 12 bolas para escolher.
Para a 2 posição da sequencia: Você tirou uma, olhou a cor e... jogou de volta. A urna está cheia de novo. Quantas opções? As mesmas 12.
Para a 3 posição da sequencia: Adivinha? 12 opções.
Para a 4 posição da sequencia: Continua tudo igual... 12 opções.
Para a 5 posição da sequencia: E pra fechar... 12 opções.
Para achar o total de sequencias possíveis, a gente usa o que os nerds chamam de Princípio Fundamental da Contagem, que é basicamente "se tem várias etapas independentes, multiplica as opções de cada uma".
Então a conta fica:
[tex3]12 \times 12 \times 12 \times 12 \times 12 = 12^5[/tex3]
O que nos dá um total absurdo de 248.832 sequências possíveis. É, dá pra ficar a tarde toda tirando bolinha da urna.
Agora, por que a sua ideia com os fatoriais não se aplica aqui?
Essa fórmula, [tex3]\frac{12!}{6!4!2!}[/tex3], é uma ferramenta poderosa, mas para o problema errado. A gente usa pra Permutação com Repetição. Quero dizer, ela serviria se a pergunta fosse: "De quantas maneiras diferentes você pode enfileirar TODAS as 12 bolas que já existem?". Nesse caso, você estaria apenas rearranjando um grupo fixo de itens.
Mas o nosso problema é sobre criar uma sequência de 5, e como a bola sempre volta, nada impede que a gente tire uma sequência como "vermelha, vermelha, vermelha, vermelha, vermelha", algo que seria impossível no outro cenário.
Resumindo tuuuuuuuuuuuudo que eu disse: com reposição, a vida é mais simples e a potência come solta. Agora essa urna não te engana mais :>